Этапы имитационного моделирования

1. Формулировка проблемы. обоснование применения имитационного моделирования, определение целей.

2. Выявление существенных элементов системы, анализ взаимодействия элементов и внешних воздействий.

3. Формулировка математической модели.

4. Разработка алгоритмов и программирование имитационных моделей.

5. Оценка адекватности модели.

Имитационное моделирование имеет особые трудности при решении проблемы адекватности модели, т.к. велик информационный фонд и сама модель – это совокупность большого количества моделей.

*методы внешней оценки (эксперт оценивает входы, выходы, структуру, примерные результаты);

*трассировка (анализируется логика моделирования);

*внутренняя оценка (статистические критерии, типа критерия Фишера);

*исторические подходы.

6. Планирование эксперимента

При планировании эксперимента предполагается решение следующих проблем:

*определение объема выборки;

*большое число факторов;

*многокомпонентная функция реализации.

7. Реализация машинных экспериментов в соответствии с выбранным планом.

Особая роль отводится подготовке информации к диалоговой системе.

8. Обработка результатов экспериментов машинного и имитационного моделирования.

Большая роль отводится методам понижения дисперсии.

СТРУКТУРА ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.
1)Объект – сложная система
2) Действие случайных факторов
3) Необходимость расчета на ЭВМ

x - Имитация случайных величин с заданным законом распределения
F(x)- Алгоритм функционирования системы (вероятностная трактовка)
y - Обработка результатов испытаний методами математической статистики

29. МЕТОДЫ ПОНИЖЕНИЯ ДИСПЕРСИИ И МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

МЕТОДЫ ПОНИЖЕНИЯ ДИСПЕРСИИ ДЛЯ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО.
1) Выделение главной части. 2) Существенная выборка.
l – единичная реализация

3) Метод симметризации подынтегральной функции.

 

 

 

МЕТОДЫ ПОНИЖЕНИЯ ДИСПЕРСИИ ДЛЯИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.
- Метод стратифицированной выборки (метод расслоения)[ вопрос №14]
- Регенеративный метод анализа модели[ вопрос №15]

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ.
Постановка задачи:
Метод Монте-Карло никогда не применяется для решения одномерных интегралов.

Методы решения.

1) Вычисление среднего значения функции.

ξ - СВ равномерно распределенная на [a,b]

- оцениваемый параметр
- оценка.

Оценка интеграла J:

2) Метод геометрической интерпретации
С – максимальное значение функции

(ξ,η) двумерная точка с функцией плотности Р_ξ,η(х, у)

 

С(b-a) – общая площадь прямоугольника; оценка интеграла Q2:

 

Сравним два метода.

 

Имеем две оценки:

 

Для того, чтобы уйти от усреднения, вводим

 

l – единичная реализация,

DQ – дисперсия оценки.

 

 

15. РЕГЕНЕРАТИВНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА МОДЕЛЕЙ

Методы понижения дисперсии для имитационного моделирования:

- Метод стратифицированной выборки (метод расслоения)

- Регенеративный метод анализа модели

 

 

Примем за критерий качества функционирования системы E{W} – среднее время ожидания требованием (без учета времени обслуживания) в стационарном режиме.

 

Каждый цикл начинается при одних и тех же условиях и система в эти моменты «восстанавливается», группы данных последовательных циклов статистически независимы и имеют одинаковые распределения. Итак, если положить, например, Y_k равной сумме значений длительностей ожидания на k-м цикле, а α_k – числу требований, обслуженных на k-м цикле, то пары (Y₁,α₁), (Y₂,α₂), (Y₃,α₃), (Y₄,α₄) и (Y₅,α₅) – независимые и одинаково распределенные.

Следовательно, сильно коррелированные данные {W₁, W₂….} разбились на статистически независимые и одинаково распределенные группы.

Если N – общее число требований, обслуженных на n циклах, то

 

 

и E{W} = E{Y₁}/E{α₁}.

Последовательность {X_n, n≥1} случайных векторов размерности K является регенерирующим процессом, если существует возрастающая последовательность 1≤β₁<β₂<…случайных дискретных моментов времени, называемых моментами регенерации, такая, что развитие процесса, начиная с каждого из этих моментов, определяется теми же вероятностными законами, что и в момент β₁. Это значит, что между любыми двумя последовательными моментами регенерации, например βj и βj+1, часть процесса

 

{X_n, βj ≤ n < βj+1}

 

является независимой «вероятностной копией» части процесса между любыми двумя другими последовательными моментами регенерации. Однако для части процесса, заключенного между моментом 1 и моментом β₁, хотя и независимой от остальных частей, допускается отличие от них по распределению. Часть процесса {X_n, βj ≤ n < βj+1} будем называть j-м циклом.

Любой регенерирующий процесс с дискретным временем, представляющий практический интерес, имеет в некотором смысле стационарное распределение и наиболее часто в следующем привычном значении: существует К-мерный случайный вектор Х такой, что распределение X_n сходится к распределению X при n→∞, т.е.

 

24. МЕТОД СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ВЫБОРКИ

Методы понижения дисперсии для имитационного моделирования:

- Метод стратифицированной выборки (метод расслоения)

- Регенеративный метод анализа модели

Рассмотрение выборки может показать, есть ли сгущения.

Пусть - μ величина среднего потребления некоторой группы населения. Необходимо оценить μ.

, где x_i - потребление i-го выбранного индивидуума.

 

 

Для расслоения вводим стратифицирующую переменную y_i – доход группы населения. Для получения y_i необходимо отнести того или иного индивидуума к одному из k-слоев. Sk – слой из k-слоев (k=1,…,K). Пусть известна вероятность того, что индивидуум принадлежит k-слою:

Тогда для оценки μ можно ввести стратифицирующую переменную

 

* - среднее значение для слоя,

* - количество индивидуумов в слое,

* - потребление j- индивидуума из k слоя.

Оценка - несмещенная, т.к. математическое ожидание оценки:

 

дисперсия оценки:

 

- оценивается с помощью S²:

 

Следовательно, формула для практического счета дисперсии оценки выглядит следующим образом:

 

Для заданной надежности (1-α) можно рассчитать доверительный интервал оценки μ:

Z_α/2 берем или из таблиц нормального распределения, или из распределения Стьюдента.

Дисперсия среднего арифметического, найденного без применения разделения на страты находится по следующей формуле:

 

 

Таким образом, при малых сгущениях, т.е. когда μ_k и μ различаются мало, тогда

Если же сгущения большие, то:

 

Метод применим, когда есть явное сгущение данных.

11. МЕТОДОЛОГИЯ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - это метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ — это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью с достаточной точностью описывающей реальную систему и с ней проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация — это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте).

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ — это частный случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели.

ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ — логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.

К имитационному моделированию прибегают, когда:

• дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;
• невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;
• необходимо сымитировать поведение системы во времени.

Имитационное моделирование, сохраняя основные приемы статистического моделирования, представляет собой современную технологию исследования сложных систем, использующую языковые и программные средства.