Лекция 12. Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии.

План.

I. Роль и место данной темы в школьном курсе, цели ее изучения.

II. Содержание материала.

III.Некоторые методические рекомендации по изучению материала о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

Содержание лекции:

I. Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии может осуществляться в различной последовательности (сначала перпендикулярность, а затем параллельность и наоборот).

В настоящее время их изучение в школе начинается с аффинной ее части – с параллельности. Это дает возможность пораньше познакомить учащихся с изображением пространственных фигур на плоскости, позволяет показать роль аксиом при изложении этого раздела, развивать конструктивные навыки учащихся в процессе решения позиционных задач. Тема играет важную роль в процессе формирования пространственных представлений учащихся, обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности и перпендикулярности прямых. Основная цель изучения – дать учащимся систематические знания о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.

II. Всю тему «параллельность в пространстве» можно разделить на 4 блока:

1) параллельность прямых в пространстве;

2) параллельность прямой и плоскости;

3) параллельность плоскостей в пространстве;

4) параллельная проекция и ее свойства. Изображение пространственных фигур на плоскости.

Для новых трех блоков можно выделить общий план изучения:

1) определение;

2) признак;

3) вопрос существования и единственности;

4) свойства (для параллельных плоскостей).

Всю тему «перпендикулярность в пространстве» можно условно разделить на три части:

1) перпендикулярность прямых в пространстве;

2) перпендикулярность прямой и плоскости;

3) перпендикулярность плоскостей.

Содержание темы:

1) перпендикулярность прямых;

2) перпендикулярность прямой и плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости; перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной на плоскость; расстояние точки до плоскости, теоремы о параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости;

3) перпендикулярность плоскостей; теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей; расстояние от прямой до параллельной ей плоскости; расстояние между параллельными плоскостями.

 

III. 1. При изучении взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве широко используются стереометрический ящик, геометрия «классной комнаты», «подручные» средства (журнал, книга, ручка, мел и т.д.), аналогия с планиметрией.

2. При изучении понятий данной темы можно придерживаться следующей методологической схемы:

1) формулировка определения учителем;

2) иллюстрация понятия на модели куба (параллелепипеда), геометрии «классной комнаты»;

3) логический анализ формулировки определения;

4) упражнения на распознавание понятия; приведение примеров из окружающей обстановки с соответствующим обоснованием.

3. При изучении теорем, выражающих признаки параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей, целесообразно придерживаться такой методической схемы:

1) мотивация изучения признака;

2) раскрытие содержания теоремы на стереометрическом ящике, на реальных объектах;

3) формулировка признака;

4) сообщение идеи доказательства, совместное составление плана доказательства;

5) оформление доказательства в соответствии с принятыми требованиями;

6) показ применимости признака на простейшей модели;

7) закрепление при решении задач.

4. Остановимся на роли задач при изучении вопросов параллельности и перпендикулярности в пространстве.

Сначала, как известно, вводится – определяется перпендикулярность (параллельность), затем рассматривается вопрос о существовании такого расположения, тесно связанный с признаками перпендикулярности (параллельности) и конструктивными задачи, т.е. воображаемыми построениями перпендикулярных (параллельных) прямых и плоскостей. Эти построения весьма разнообразны.

5.Со второй половины темы «перпендикулярность в пространстве» акцент делается уже на практические стереометрические задачи. Это обусловлено тем, что введено понятие перпендикулярности, понятие «расстояние» и рассмотрена теорема о трех перпендикулярах, дающая основную конфигурацию – классический прямоугольный треугольник (перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной).

Вопросы для самопроверки.

1. Какова основная цель изучения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии?

2. Какие блоки можно выделить в материале о параллельности прямых и плоскостей в пространстве, перпендикулярности прямых и плоскостей.

3. Какую методическую схему изучения понятий этой темы можно использовать?

4. Какую методическую схему можно предложить для изучения теорем, выражающих признаки параллельности (перпендикулярности) прямых и плоскостей?

5. Какие задачи преобладают в учебниках при изучении данной темы?

Литература: 4, 6, 7, 14, 16.