Основные теоремы о существование предела последовательности.

Теорема Вейрштрасса:

Пусть a_n- ограниченная и моннатонна. Тогда $ lim a_n=а<¥

^n®+¥

Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.

 

Лекция №5

Тема: Бесконечно большие последовательности

 

Теорема:

lim(1-1/n)ⁿ=1/e e=2,7183

^n®+¥

0£a_n=1-1/n£1 "nÎ N, то есть a_n=(1-1/n)ⁿ- ограниченна.

ⁿ⁺¹Öa_n=ⁿ⁺¹Ö(1-1/n)ⁿ·1=ⁿ⁺¹Ö(1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)·1<[1+(1-1/n)+…+(1-1/n)]/n+1=(n+1-n·1/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1

ⁿ⁺¹Ö(1-1/n)ⁿ<1-1/n+1

(1-1/n)ⁿ<(1-1/n+1)ⁿ⁺¹

a_n<a_n+1 "nÎ N Þ последовательность возрастает и ограниченная.

(1-1/n)ⁿ – имеет конечный предел

lim(1-1/n)ⁿ=1/e

^n®+¥

Следствие

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n®+¥

lim1/(1+1/n)ⁿ=(n/n+1)ⁿ=[1-1/(n+1)]ⁿ⁺¹/ [1-1/(n+1)]=(1/e)/1=1/e

^n®+¥

lim[1/(1+1/n)ⁿ]=1/e

^n®+¥

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n®+¥

Определение под последовательности

Пусть дана a_n зададим произвольный набор натуральных чисел таких, что

n₁<n₂<n₃<…<n_k<….

a_n1,a_n2,…,a_nk,…

Полученная последовательность называется под последовательностью и сходной последовательности.

a_n=(-1)ⁿ

{a_n}={-1;1;-1;1….}

n₁=2;n₂=4,….,n_k=2k

{a_nk}={1,1,1,1…}

Теорема

Пусть последовательность a_n сходится, тогда "последовательности

$ lim a_n=a "{a_nk} – гас и lim

^n®+¥

lim a_nk=0

^n®+¥

Доказательство так как a_n – сходиться, то "ε>0 $N: "n>N Þ |a_n-a|<ε

a_nk; n_k>N то есть |a_nk-a|<ε

Пример

a_n=(-1)ⁿ – не имеет предела

{a_2n}={1,…,1,…,}

{a_2n-1}={-1,….,-1,…}

имели бы тот же самый предел.

Предел функции.

Определение

Пусть y=f(x) определена в O°(x₀). Мы говорим, что функция f(x) имеет предел в при х®х₀ если "ε>0 $ d>0

"x:0<|x-x₀|<dÞ |f(x)-b|<ε

lim f(x)=b

^x®x_°

Через окрестности это определение записывается следующим образом

"ε>0 $d>0 "xÎ0°_d(x₀)Þf(x)Î0_ε(b)

Если lim f(x)=0, то f(x) наз бесконечно малой при x®x₀.

^x®x_°

Замечание. Необходимо указать в каком именно процессе f(x) бесконечно малое. Надо указать к какому числу ® а.

f(x)=x-1

1.x®1 lim(x-1)=0, то есть y=x-1 бесконечно малое при x®1

^x®1

2.x®2 lim(x-1)=1, то есть y=x-1 не является бесконечно малой при x®2

^x®1

Пример

f(x)=2x+1 x®1

Докажем lim(2x+1)=3

^x®1

"ε>0 $d>0 "x:0<|x-1|<dÞ |(2x+1)-3|<ε

|(2x+1)-3|<ε

|x-1|<ε/2

x¹1

Положим d=ε/2

Теорема о бесконечно малом

1)a(x);b(x) – бесконечно малое x®x₀ Þ a(x)+b(x) – бесконечно малое при x®x₀

2)a(x);b(x) – бесконечно малое при x®x₀

3)Если f(x) – ограниченна в O°(x₀) и a(x) – бесконечно малое при x®x₀, то f(x);a(x) – бесконечно малое при x®x₀

Доказательство (3)

Так как f(x) – ограниченна в O°(x₀), то $ С>0: "xÎO°(x₀)Þ|f(x)|£C;

Так как a(x) – бесконечно малое при х®х₀, то "ε>0 $d>0 "x: 0<|x-x₀|<d Þ |a(x)|<ε "ε₁>0

Положим ε=ε₁/c

$d>0 "x: 0<|x-x₀|<dÞ |f(x)a(x)|=|f(x)||a(x)|<Cε=ε₁Þ lim f(x)a(x)=0, то есть f(x)a(x) – бесконечно малое при x®x₀

^x®x_°

Лекция №6

Тема: Замечательные пределы

Теорема

f(x)>g(x) в O°(x₀) и $ lim (f(x))=b и $ lim (g(x))=c. Тогда b³c

^x®x_° ^x®x_°

Доказательство:

Рассмотрим функцию g(x)=f(x)-g(x)>0 в O°(x₀) Þ lim (g(x))= lim (f(x)) - lim (g(x))= b-c и в силу предыдущей

^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°

теоремы b-c³0, то есть b³0 что и требовалось доказать.

 

Теорема

f(x)£g(x)£g(x) " xÎO°(x₀) и $ lim (f(x))=b и $ lim (g (x))=b. Þ lim (g (x))=b

^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°

Доказательство:

f(x)=b+a(x)

g(x)=b+b(x)

где a(x) и b(x) – бесконечно малые при х®х₀

b+a(x)£g(x)£b+b(x)

Так как a(х) и b(х) – бесконечно малые то "ε>0 $d₁>0: " xÎO°_d1(x₀) Þ |a(x)|<ε

$d₂>0: " xÎO°_d2(x₀) Þ |b(x)|<ε

Положим d=min{d₁;d₂}

Тогда " xÎO°_d(x₀) Þ |a(x)|<ε

|b(x)|<ε

-ε<a(x)<ε

-ε<b(x)<ε

b-ε<b+a(x)£g(x)£b+b(x)<b+ε

-ε<g(x)-b<ε

|g(x)-b|<ε " xÎO°_d(x₀)

" ε>0 $ d=min{d₁;d₂} Þ |g(x)-b|<ε "xÎO°_d(x₀) то есть lim (g (x))=b

^x®x_°