Метод Фур’є для розв’язування задачі теплопровідності

Розглянемо задачу теплопровідності у скінченному стержні довжиною l. нехай його кінці відповідають точкам х=0 та х=l на осі Ох. Враховуючи специфіку метода Фур’є, розглянемо ряд задач з однорідними крайовими умовами.

1) Знайти розподіл температур в стержні, на кінцях якого весь час підтримується нульова температура, а початковий розподіл задається функцією

Поставимо задачу:

 

,

П.У. К.У. (6.19)

Для неперервності U(х; t) в точках (0; 0) і (l; 0 ) необхідно вимагати, щоб φ (0) =φ (l) =0. Також припускаємо, що функцію можна розкласти по синусах кратних дуг на проміжку . Згідно методу Фур’є ненульові розв’язки рівняння, що задовольняють умови (6.19), шукаємо у вигляді добутку двох функцій:

 

 

Підставляючи цю функцію у рівняння теплопровідності, отримаємо:

 

або

 

Останній факт було досліджено при розв’язуванні задач про коливання. Таким чином, рівняння теплопровідності розпадається на два звичайних диференціальних рівняння:

 

, (І)

(ІІ)

 

Розглянемо спочатку перше рівняння і знайдемо функцію Оскільки розв’язки характеристичного рівняння є комплексно спряженими то шукана функція набуває вигляду

Для знаходження невідомих сталих, використовуємо крайові умови, записані для функції

К.У.

Звідси:

Очевидно, що (інакше отримаємо тривіальний роз-в’язок). Тоді:

Отже, маємо:

, (6.20)

 

Тепер з рівняння (ІІ) знайдемо функцію Це дифере-нціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними:

 

, тоді

Враховуючи, що , остаточно маємо:

, (6.21)

 

Таким чином, знайдено частинні розв’язки рівняння тепло-

провідності:

 

 

Оскільки рівняння теплопровідності є лінійним та однорідним, то його загальний розв’язок можна знайти, як суму частинних розв’язків:

 

або, позначивши , запишемо:

(6.22)

 

Для визначення коефіцієнта скористаємося початко-вою умовою:

 

П.У.

Звідси:

 

Для функції отримано розклад в ряд Фур’є за сину-сами в інтервалі з коефіцієнтами розкладу . Тоді згідно формул Фур’є:

 

(6.23)

 

Таким чином, розв’язок задачі про поширення тепла у стержні, на кінцях якого підтримується нульова температура, а початковий розподіл температур задається функцією шукається за формулами (6.22), (6.23).

Зауваження

Розглянемо випадок, коли на кінцях стержня задається ненульова температура. Тоді задача має наступну постановку:

 

, ,

П.У. К.У. (6.24)

 

Тут та – сталі температури відповідно на кінцях х= 0 та x=l.

У цій задачі з неоднорідними граничними умовами достатньо зробити підстановку:

 

(6.25)

 

яка зведе її до попередньої задачі відносно функції Цю процедуру пропонується виконати студентам самостійно.

Розглянемо ще одну задачу про поширення тепла у стержні.

2) Знайти розподіл температур в стержні, на одному кінці якого весь час підтримується нульова температура, а другий кінець теплоізольвано при довільній початковій умові.

Поставимо задачу:

 

, ,

 

П.У. U(x,0)=φ(x), К.У. (6.26)

 

Зазначимо, що тут не суттєво, який кінець теплоізольовано. Як бачимо, крайові умови однорідні. Розв’яжемо цю задачу за методом Фур’є, згідно якого

 

(6.27)

 

Тоді рівняння теплопровідності:

 

або

Розглянемо рівняння

,

розв’язок якого

Сталі А та В шукаємо із крайових умов:

 

К.У.

 

Розпишемо граничні умови:

 

Очевидно, що тоді

Звідси ,

Отже,

. (6.28)

Розв’яжемо друге рівняння для функції , що одержується з рівняння теплопровідності:

 

.

 

.

 

Розв’язок цього рівняння:

 

.

Враховуючи, що , , отримаємо

 

. (6.29)

 

Отже, маємо і розв’язок даної зада-чі шукаємо у вигляді:

Поклавши , остаточно будемо мати:

. (6.30)

 

Коефіцієнти визначаються із початкової умови, як у попередній задачі:

 

(6.31)

 

Отже, формули (6.30) і (6.31) дають розв’язок даної задачі.

3) Розв’язати задачу про поширення тепла в стержні, на одному кінці якого стала температура U₀, а другий – теплоізольований.

Поставимо задачу:

 

, ,

П.У. U(x,0)=φ(x), К.У. (6.32)

За методом Фур’є крайові умови мають бути нульовими. Тому проведемо заміну

 

 

 

Рівняння теплопровідності:

,

К.У. (6.33)

 

П.У.

 

За методом Фур’є отримаємо

 

(6.34)

 

де

 

Отже, остаточно маємо:

Приклад 6.2 Розв’язати задачу про поширення тепла у стержні довжиною l, на кінцях якого весь час підтримується нульова температура, а початковий розподіл температур задається функцією

 

Поставимо задачу:

, ,

П.У. К.У.

 

Згідно з методом Фур’є ця задача має розв’язок:

 

 

де

Як відомо, система власних функцій є ортогональною на проміжку , тобто

 

коли , і не дорівнює нулю, коли .

Таким чином, усі коефіцієнти проте коефіцієнт Знайдемо його:

 

Тоді розв’язок задачі запишемо так