Лекции № 4-6 Тема 2. Векторная алгебра

 

Декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении

Аналитическая геометрия в отличие от элементарной классической геометрии, изучаемой в школе, даёт возможность решать многие геометрические задачи алгебраическими методами, которые не требуют геометрических построений. В её основе лежит понятие системы координат, которое позволяет задавать точки с помощью наборов чисел, а линии и поверхности с помощью уравнений.

Определение. Координатной осью Ox на прямой называется прямая с выбранным началом координат – точкой O, направлением и масштабным единичным отрезком [0,1].

При этом каждой точке A на прямой сопоставляется число – её координата x. Соответствующее обозначение A(x ).

A(x)

x

 

Рис. 2.1 Система координат на прямой

 

При этом имеется взаимно однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами – координатами этих точек.

Определение. Декартовой системой координат (Д.С.К.) на плоскости называется пара взаимно перпендикулярных координатных осей на этой плоскости, пересекающиеся в общем начале координат точке O и имеющие равные масштабные отрезки. Первая из этих осей называется осью абсцисс (Ox), а вторая – осью ординат (Oy).

Координаты проекций точки A плоскости на эти оси называются координатами точки A в Д.С.К. Oxy. Это обозначается в виде A(x,y).

При этом имеется взаимно однозначное соответствие между всеми точками плоскости и всеми парами действительных чисел – координатами этих точек (рис.2.2).

A(x,y)

y

Y

X

x

 

1

 

Рис. 2.2 Система координат на плоскости

Точка O имеет координаты (0,0). Координаты точек на оси Ox имеют вид (x,0). Координаты точек и оси Oy имеют вид (О,у).

Определение. Д.С.К. в пространстве Oxyz называется тройка взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в общем начале координат точке O и имеющих равные масштабные отрезки.

Третья ось при этом называется осью аппликат (Oz).

Координаты проекции точки A на эти три оси называются координатами точки A в Д.С.К. Oxyz (обозначение A (x,y,z); x– абсцисса, y– ордината, z– аппликата).

При этом имеется взаимно однозначное соответствие между всеми точками пространства и всеми тройками действительных чисел – координатами этих точек.

Точка O имеет координаты O (0,0,0). Координаты точек на оси Ox имеют вид (x,0,0), на Oy – (0,y,0), на Oz –(0,0,z).

Простейшие задачи аналитической геометрии

Рассмотрим две простейшие задачи: нахождение расстояния между двумя точками и деление отрезка в данном отношении.

Расстояние между точками A и B будем обозначать через |AB|. Оно обладает следующими свойствами.

1) |AB| 0. |AB|=0 только в том случае, когда A=B.

2) |AB|=|BA|.

3) |AC|≤|AB|+|BC|.

Теорема 1. Расстояние между точками A(x_A) и B(x_B) на оси Ox находится по формуле |AB|=|x_B–x_A|. Здесь справа записан модуль разности между координатами точек B и A.

А

В

Х

 

 

Рис.2.3 Расстояние между точками

 

Теорема 2. Расстояние между точками A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B) на плоскости Oxy находится по формуле |AB|= .

Теорема 3. Расстояние между точками A(x_A,y_A,z_A) и B(x_B,y_B,z_B) в пространстве Oxyz находится по формуле

.

Пример. Пусть A(1,1,1),B(2,3,–1). Найдём |AB|.

 

 

 

Определение. Разделить отрезок AB в отношении это значит найти на нём такую точку M, что

Теорема 4. Пусть точки A(x_A) и B(x_B) лежат на оси Ox и точка M(x_M ) делит отрезок AB в отношении , тогда .

Доказательство. Пусть x_B>x_A, тогда x_A<x_M<x_B, |AM|=x_M–x_A, |MB|=x_B–x_M, из определения точки M получим уравнение:

Решим его.

Теорема 5. Пусть точка M(x_M,y_M,z_M) делит отрезок AB в отношении , где A(x_A,y_A,z_A), B(x_B,y_B,z_B), тогда

Пример2. Найти координаты точки M,делящей отрезокAB в отношении , где A(1,1,2), B(4,7,8). Получим:

.

Следовательно,M(2,3,4).

Следствие. Если точка M является серединой отрезка AB, то

.

Эти формулы получаются из формул теоремы 5 при a=b=1.