Области и запасы устойчивости.

Основные понятия и определения

Введем понятие запаса устойчивости для системы, модель которой имеет вид:

Запишем характеристическое уравнение системы

Оно имеет n корней

Определение: областью устойчивости по параметрам будем называть множество матриц A, для которых выполняется общее условие устойчивости линейных систем, т. е.

Совокупность всех этих матриц A отображается в некоторую область на плоскости параметров

Определение: критическими (граничными) будем называть такие значения матриц Aгр, при которых система находится на границе устойчивости.

В реальной ситуации часто требуется оценить влияние одного параметра системы (например, a) на ее устойчивость, поэтому можно говорить о «левом» и «правом» граничных значениях, например, a1гр и а2гр соответственно.

Определение: запасом устойчивости называется диапазон значений параметра от номинального до граничного. Например,

Частотные оценки запаса устойчивости

На основе критерия Найквиста можно получить частотные оценки

запаса устойчивости, которые характеризуют удаление амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы от критической точки -1; j0.

Запас устойчивости по модулю (h) показывает, насколько можно увеличить модуль АФХ разомкнутой системы без потери устойчивости замкнутой

Запас устойчивости по фазе ( γ ) определяется на частоте среза ωср, где . Он показывает, насколько можно изменить фазу АФХ разомкнутой системы без потери устойчивости замкнутой

Корневые оценки запаса устойчивости

Колебания будут возникать, если характеристическое уравнение содержит комплексно-сопряженные корни:

где вещественная часть определяет скорость затухания, а

мнимая часть корней – частоту колебаний.

Паре корней с самым «широким» сектором будет соответствовать составляющая процесса с наибольшими колебаниями, поэтому в качестве оценки запаса устойчивости можно рассматривать отношение

Отметим, что значение γ может изменяться в диапазоне γ ∈0; ∞.

Чем меньше γ (больше величина мнимой части корня βi или меньше вещественная часть), тем ближе будет система к границе устойчивости. В случае, когда γ =0, она находится на границе устойчивости. При γ = ∞ система будет иметь бесконечный запас устойчивости.

 

 

Качество работы динамических систем. Анализ качества процессов Основные понятия, определения переходного и установившегося процессов, количественные оценки процессов: ошибка регулирования (динамическая, установившаяся, статическая, скоростная), время переходного процесса, перерегулирование, показатель колебательности. Интегральные оценки.