Аксиоматические теории. Непротиворечивость.

Вопросы к экзамену

1. +Множества. Отношения. Примеры.

2. +Математические структуры. Примеры.

3. +Модели. Примеры.

4. +Изоморфизм.

5. +Аксиоматические теории. Непротиворечивость.

6. +-Независимость аксиом.

7. +-Полнота. Роль теории множеств.

8. +Аксиоматика Вейля.

9. +Непротиворечивость аксиоматики Вейля.

10. +Простейшие следствия аксиоматики Вейля.

11. + Аксиоматика Гильберта. I и II группы.

12. + Аксиоматика Гильберта. III, IV, V группы.

13. +Аксиоматика Погорелова.

14. +Непротиворечивости аксиоматики Погорелова.

15. +Геометрия Лобачевского.

16. + Модель Клейна.

17. + Непротиворечивость геометрии Лобачевского.

18. +Модель Пуанкаре.

Множества и отношения. Примеры.

Если X- мн-ва,то

…= - мн-во всех наборов.

P(x)-мн-ва всех подмножеств Х.

Отношение на множестве Х – это Если , то говорят находится в отношении .

Примеры

1. n=1 наз. Унарное(одинарное) отношение. Это означает, что каждые элементы мн-ва выделены.

2. n=2 бинарное отношение.

1) E – мн-во точек евклидовой плоскости, L – мн-во всех прямых.

(A, ) <=> А - инциндентность или принадлежность.

2) S – мн-во всех треугольников на плоскости или прстранстве.

Среди бинарных отношений выделяются отношения «эквивалентности» которые удовлетворяют 3 свойствам: рефлексивность, симметричность, транзитивность.

3. n=3 тенарное отношение

E -мн-во точек пространства евклида.

(A,B,M) <=>

4. Отображение (ф-ция)

х,у - множества

f: х -> у х->f(х)=у

гр. Ф-ции.

5. Алгебраические операции определяются через отоброжения и поэтому также явл. отношением.

f:

6. Скалярное произведение

G: ) =

7. Меорина

M – пространство точек

-> - неотрицательные числа

8. Откладывание вектора

E - пространство точек

Математические структуры. Примеры

Основным методом в современной математике является аксиоматиче-

ский метод в теоретико-множественном понимании, тесно связанный с поня-

тием математической структуры.

Пусть А1,А2,А3,...,Аn - непустые множества. А1 ЧА2 ЧА3 Ч...ЧАn -

прямое (декартово) произведение этих множеств, т.е. множество всех упоря-

доченных n-местных кортежей (a1;a2;...;an), элемент ai которых, стоящий на

i-ом месте, принадлежит множеству Ai,i =1,2,...,n.

В теоретико-множественной записи:

А1ЧА2 ЧА3 Ч...ЧА ={(a1,a2,...,an)|ai∈Ai}.

n

Определение 1.1.1. Любое подмножество декартова произведения множеств

А1 ЧА2 ЧА3 Ч...ЧА называется n-арным (или n-местным) отношением δ, nопределенным во множествах А1,А2,А3,...,Аn.

Замечание. Из определения имеем:

1) δ ⊂А1ЧА2 ЧА3 Ч...ЧАn.

2) Элементы (a1;a2;...;an)(ai∈Ai,i =1,2,...,n) находятся в отношении δ,ес-

ли (a1;a2;...;an)∈δ.

3) Если А1 = А2 = А3 =...= Аn = A, то А1 ЧА2 ЧА3 Ч...ЧАn = An - n-аядекар-

това степень множества A.

4) Если δ ⊂An, то говорят: на множестве A определено n-арное отношение

δ.

5) В случае бинарного отношения δ ⊂A1 ЧA2 вместо (a1;a2)∈δ пишут a1δa2

- «a1 находится в отношении δ с a2». Например, отношение равенства на

множестве R всех вещественных чисел – бинарное отношение.

6) Пусть на множестве A определена алгебраическая операция (внутренний

закон композиции)

ϕ: AЧA→A.

Ее можно рассматривать как тернарное отношение δ ⊂AЧAЧA= A3, где

δ ={(a,b,c)∈A3 |ϕ(a,b) = c}, a,b,c∈A.

7) Пусть на множестве A определен внешний закон композиции f с множе-

ством операторов Λ:

f:ΛЧA→A.

Его можно рассматривать как тернарное отношение, определенное на множе-

ствах Λ,A при помощи подмножества δ ⊂ΛЧAЧA, т.е.

δ ={(λ,a,b)∈ΛЧAЧA| f (λ,a)=b}, λ∈Λ, a,b∈A.

Рассмотрим конечную систему различных непустых множеств

А1,А2,А3,...,Аn. Пусть, например, n= 3.

7 Пусть σ ={δ1,δ2,...,δk} - некоторая система тернарных отношений, оп-

ределенных на множествах А1,А2,А3 и обладающих свойствами α1,α2,...,αt.

То есть δi - это такое подмножество декартова произведения А1ЧА2ЧА3,

которое обладает всеми свойствами α1,α2,...,αt одновременно.

Может быть, что существует не одна, а несколько таких систем отно-

шений σ ={δ1,δ2,...,δk}. Например, ϕ - алгебраическая операция на множе-

стве R действительных чисел: ϕ:RЧR→R (т.е. ϕ можно рассматривать

как единственное отношение δ ={(a,b,c)∈R3 |ϕ(a,b)=c}, a,b,c∈R). Пусть

отношение δ обладает свойством коммутативности

α1:ϕ(a,b)=ϕ(b,a)∀a,b∈R.

Можно указать два знчения отношения δ, обладающего свойством α1 (т.е.

две коммутативные операции на R): δ′ - сложение, δ′′- умножение, т.е.

δ′ ={(a,b,c)∈R3 |a+b=c},

δ′′ ={(a,b,c)∈R3 |a⋅b=c}.

Пусть Τ - непустое множество всех систем σ ={δ1,δ2,...,δk} отноше-

ний, каждое из которых обладает заданными свойствами α1,α2,...,αt.

Определение 1.1.2. Элемент σ∈Τ определяет на множествах А1,А2,А3

математическую структуру рода Τ.

Определение 1.1.3. Явно сформулированные свойства α1,α2,...,αt, оп-

ределяющие множество Τ, называются аксиомами структуры рода Τ.

Определение 1.1.4. Множества А1,А2,А3 называются базой структуры

рода Τ.

Таким образом, математическая структура рода Т представляет со-

бой одно или несколько множеств А1,А2,А3,...,Аn(образующих базу струк-

туры), элементы которых произвольной природы (основные, неопределяемые

понятия данной теории) и находятся в некоторых отношениях

δ1,δ2,...,δ (называемых основными неопределяемыми отношениями), удов-

летворяющих аксиомам α1,α2,...,αt.

Аксиомы иногда характеризуют не одну с точностью до изоморфизма,

а некоторое множество математических структур. Совокупность всех струк-

тур, определенных данной системой аксиом Σ ={α1,...,αt}, называется родом

Т этих структур.

Совокупность предложений, которые можно вывести логическимпу-

тем из аксиом структуры, называется теорией структуры рода Т.

В 30-х годах ХХ в. Н. Бурбаки определил математику как науку о ма-

тематических структурах. Математические структуры подразделены им на

три вида: алгебраические, порядковые и топологические. Евклидово, псевдо-

евклидово, риманово, псевдориманово пространства, пространственно-

временной континуум являются примерами структур топологического типа.

8 Рассмотрим простейшие структуры алгебраического типа. Всем струк-

турам одного и того же рода дают специальное название: структура группы,

структура n-мерного векторного пространства и др.

Пример 1.1.1. (структура группы). Система σ ={δ1,δ2,...,δk} отноше-

ний состоит из одного тернарного отношения δ ⊂GЧGЧG=G3, соответст-

вующего алгебраической операции:

ϕ:GЧG→G

(т.е. ϕ можно рассматривать как единственное отношение

δ ={(a,b,c)∈G3 |ϕ(a,b)=c}, a,b,c∈G). База состоит из одного множества

G. Три аксиомы системы аксиом Σ ={α1,α2,α3} структуры группы:

α: ∀a,b,c∈G:ϕ(ϕ(a,b),c)=ϕ(a,ϕ(b,c)) - аксиома ассоциативности;

α2:∃e∈G∀a∈Gϕ(a,e)=ϕ(e,a)=a - существование нейтрального элемен-

та;

α3:∀a∈G∃a′∈G ϕ(a,a′)=ϕ(a′,a)=e - существование симметричного

элемента.

Пример1.1.2. (структура n-мерного векторного пространства над заданным

полем).

База состоит из двух множеств – основного множества V (его элементы -

векторы – основные неопределяемые понятия); вспомогательного множест-

ва K(его элементы условно называются скалярами). Система отношений

σ ={δ1,δ2,...,δk} состоит из двух тернарных отношений:

δ1 ⊂KЧVЧV, δ1 ={a, xr, yr | f (a, xr)= yr}, a∈K, xr, yr∈V;

δ2 ⊂V ЧVЧV =V3, δ2 ={(ar,br,cr)|ϕ(ar,br) = cr}, ar,br,cr∈V.

Аксиомы структуры векторного пространства V над полем K:

α1:∀λ,μ∈K∀ar∈V f (λ, f (μ,ar)= f (λμ,ar);

α2:∀λ,μ∈K∀ar∈V f (λ+μ,ar)=ϕ(f (λ,ar), f (μ,ar));

α3:∀ar∈V f (1,ar)=ar;

α ∀r r∈∀λ∈ λ ϕ r r =ϕ λ r λ r;

4:a,b V, K f (, (a,b)) (f (,a), f (,b))

α5:∃0r∈V ∀ar∈Vϕ(0r,ar) =ϕ(ar,0r) = ar;

α∀ar∈V∃ −ar∈V ϕar −ar =ϕ −arar = r;

6: () (,()) ((),) 0

α7:ϕ(ar,br)=ϕ(br,ar)∀ar,br∈V;

α8:ϕ(ar,ϕ(br,cr))=ϕ(ϕ(ar,br),cr)∀ar,br,cr∈V.

Таким образом, теория структур рода Т – это множество предложе-

ний (теорем), являющихся логическими следствиями аксиом структуры рода

Τ.

Предметом математики являются математические структуры. Основ-

ной метод математики – дедуктивный аксиоматический (от общих акси-

ом к частным следствиям из них):

- вводятся неопределяемые, первичные понятия структуры;

- вводятся основные отношения;

- структуры строятся с помощью аксиом;

- затем, используя законы логики, строится теория структур данного рода.

Модели. Примеры.

Модели(интерпретации)если даны 2 аксиоматические теории S(«старая»), T(«новая»),то построить модели теории T на основе S означает следующее:

1)первоначальное понятие Т определяется на основе S

2) «первоначальное отношение Т» определяется на основе S

3) аксиомы ξ(кси)_S=> ξ_T Другими словами аксиоматика Т док-ся как теоремы в теории S

Если построена модель теории Т на основе S,то можно сказать,что теория Т как бы вкладывается в теорию S

Примеры

1) геометрическая модель векторного пр-ва. Двумерное в-рное пр-во к аксиомам 1-8 добавл 9.dimv=2, 1-9 описывает теорию Т двумерного в-рного пр-ва.

S- евклидовагеомпл-сть. Векторы опред-ся как направл отрезки

2) арифметич модель двумерного в-рного пр-ва

V=R²={(a₁,a₂)(a_i?R)} мн-во всех упорядоченных пар чисел

а =(а₁,а₂),

а+в=(а₁+в₁,а₂+в₂),

к*а=(к*а₁,к*а₂)

а+в=(а₁а₂+в ₁в₂)=(а₁+в₁,а₂+в₂)=(в₁+а₁,в₂+а₂)=(в₁,в₂)+(а₁,а₂)

Изоморфизм. Примеры

Если 2 структуры 1 рода, те у них однотипные понятия и одинаковое число однотипных отношений и мдмнож-ми понятий соотв. Можно установить взаимнооднознсоотв так, что эти соотв (отображения)сохр отношение.

Примеры!

1) G=<R₊ ^*,°>; H=<R,(+)>

G->H:X->lnx; F(x)=Lnx; F(xy)=f(x)+f(y); ln(xy=lnx+lny)

2) (M₁,p₁(po)) метрическое простран-во; p₁:M₁xM₁->R₊; (M₂p₂)- еще одно метрич про-во. Изоморфизм в этом случае наз изометрия f:M₁->M₂ взаимнооднозначноеотобр (x,y)?M₁; p₁(x,y)=p₂(f(x₁)+f(x₂)

3) Если vпроиз вектора про-во. вводится понятие линейной зависимости, независимости, базиса и координат и размерность, затем док-ся что произв векторное про-во размерности dimv=n изоморфно Rⁿ={a₁..a_n|a_i?R} если v над R изоморф структуры астр и более конкр модели

Аксиоматика Вейля

Другое наз. Точечно-векторная аксиоматика.

Структура евклидовой геометрии в аксиоматике Вейля это < >

- пространство точек

- векторное пространство

сложение векторов

умножение векторов

-скалярное произведение

-откладывание векторов

1. Группа: аксиомы векторного пространства

А1:

A2: )+ = +

A3:

A4: :

A5:

A6: k()= (k , k

A7: (k =

A8:

2. Группа: dim v=n

n=1 - прямая

n=2 -плоскость

n=3 –трехмерное пространство

Размерность равномерно и означает, что в существует и линейно-независимых векторов и вектор линейно-независимый

3. Группы скалярного произведения

:

A10:

A11: =

A12: + =

A13: =

4. Группа

A, B –точки

A14: Единственность откладывания вектора

Основное свойство сложения векторов + =

Vгр.

L₁=(1,0)

L₂=(0,1)

тогдалюбойвектор a =(a₁,a₂)=a₁(1,0)+a₂(0,1)= a₁L₁+ a₂L₂

k₁L₁+ k₂L₂=0

0=k₁L₁+ k₂L₂= k₁(1,0)+k₂(0,1)= (k₁,0)+(0, k₂)=(k₁ k₂)=(0,0)=0 ó k₁=0 и k₂=0 вбаз.(L₁ L₂)

dim U=1

a=(a₁,a₂)

b=(b₁b₂)

a+b=def= a₁b₁+a₂b₂

aa=((a₁,a₂) (a₁,a₂))=a₁²+ a₂²≥0

a₁²+ a₂²=0 ó a₁=a₂=0

a=(0,0) ч.т.д

A=(x₁y₁) B=(x₂y₂)

G(A,B)=AB=(x₂-x₁,y₂-y₁)

A14:

A=(x₁y₁), a=(a₁,a₂)

Ǝ! B=(x₁+ a₁, y₂+ a₂)

AB=a

C=(x₃y₃)

AB+BC=(x₂-x₁,y₂-y₁)+ (x₃-x₂,y₃-y₂)= (x₂-x₁+ x₃-x₂,y₂-y₁+ y₃-y₂)= (x₃-x₁,y₃-y₁)=AC

Таким образом построена модель G_w Евклидовой плоскости на основе теории IR. Это означает, что аксиомы G_w непротиворечивы, если не противоречива теория IR.

III. Аксиомы размерности

III1: Существует три линейно независимых вектора, т.е. если.

III2: Любые четыре вектора линейно зависимы, т.е. если.

Всякая система трех линейно независимых векторов называется базисом данного трехмерного векторного пространства.

Теорема: Всякий вектор векторного пространства можно разложить, и притом единственным образом, по векторам базиса.

Числа x1,x2,x3 называются координатами вектора в базисе [2].

Аксиоматика Погорелова.

I Аксиомы принадлежности:

1) Через 2 точки проходит единственная прямая.

2) Каждая прямая содержит 2 точки и существуют 3 точки не лежащие на одной прямой.

II Аксиомы порядка:

1) Из 3-х точек на прямой одна единственная лежит «между» двумя другими.

2) Если прямая l в пл-ти, то прямая разбивает плоскость на 2 полуплоскости, так что если A и B в одной полупл-ти, то l не пересекает отр АВ. Если А и В в разных полупл-тях, то l пересекает АВ.

Следствие: Из аксиомы II₂ вводится понятие треугольника АВС сост из 3-х отрезков и 3-х точек не лежащих на одной прямой.

 

3.Аксиомы длины отрезка и меры углов:

3.1 Каждый опред.отрезок имеет опред.длинну(не отрицдействит.число)

|АВ|=|АМ|+|МВ|.

После этого логично вывести получ.группы на прямой.Выбираем точку О.

О разбивает прямую на 2 полупрямые L «разбивает плоскость на 2 части».

Одна полупрямая обзн.положительно на пр-р ОА, вторая ОС-отрицательной, тогда х точки, А – длинна отрезка|ОА|,х-точки х_С=-|ОС|

3.2 Каждый угол имеет опр. меру 0<Q<180. Каждый угол имеет определенную гр-ную меру.

<hl=r=Q, 0<Q<180. Если m между hиl,

о <hm+<ml=<hl или α+β=γ

Свойство аддитивности:

- разверн. угол,<hl=180

A h,B l.Если луч не пересекает АВ, то это и означает что m «между» h и l.

В треуг. АВВ₁ m пересекает АВ m пересечет АВ(m проходит через О и BB₁).m и BB₁ = М₂ в треуг АА₁В₁ m пересекает BB₁ .Независимо от выбора отрезка m пересекает его.

Геометрия Лобачевского.

Сущ 3 класса метрических геометрий

1. Евклидова геометрия

2. Сферическая геометрия(в другом варианте эллиптичгеом Римана)

3. Неевклидова геометрия Лобачевского.

Евклидова геом (Начала Евклида 3001 до н.э) Позднее было описание сфер геом. Исследование 5 постулата на основании аксиом Евклида. На ходе эти док-ва содержали ошибки, тем не менее они фактически способствовали открытию некоторых фак-в неевклгеомлобачевского.

Практически все крупнейшие мат-ки средних веков и нового времени занимались док-вом 5 постулата, имели след причину:неверноисп утверждения как бы очевидное но эквиволентное постулату

Примеры. Утверждэкв 5 постулату.

1) Если 2 прямые на пл-ти не пересек, то расстояние от точки одной прямой до второй(длины периода) постоянна или ограничены в совркупности. Рис

1. l₁∩l=пустому мн-ву. А₁А перпендикулярно lро(А₁А)=|А₁А|=ро(А₁l)

1.1 p(А1,l)=const; |p(А₁l)|<k для любых А₁

2) Сумма углов в треугол (любого) равна 180.

Док-во. Аксиома паралельности(через В сущl₁||l)=> в треугол АВС сумма углов=180 или пи.

l₁∩l=пустому множеству.

Из единственности паралел прямых =>l^/=l^//, следов α+β+γ=180 как развернутый угол сумма углов в треуг АВС

3)Рис. Сумма углов в треугол постоянная=>сумма углов =180.

Система: Ԑ₁+Ԑ₂=п

f₁+f₂=п по предположению α+β+γ=α+Ԑ₁+f₁ (**)

Сумма EFBC: β+γ+ Ԑ₂+ Ԑ₁+ f₂ (***)

И з (*)=> Ԑ₁+Ԑ₂₊f₁+f₂=2п

(**)=>β+γ+ Ԑ₂+f₂=2п

4) Рис. Сущпрямоугол и квадраты 4-х угольники Ламберта

Угол А=углу В=углу С=п/2; δ=углу Д=1

1.δ<=п/2(δ>=п/2 не может быть.

2.δ=п/2 евклидова геометрия

3.δ<п/2

Гипотеза острого угла. Предпологая, что выполняется гипотеза он предпологал найти противоречие. Он заметил, что между фор-ми неевклгеом и фор-ми сферичгеом есть сходство.Онпредпологал, что это геомвыпол на какой-то мнимой сфере.

5) Площади треугольников неограничены в совокупности т.есущ треугольники неограниченно большой площади

Рис. δ₁<δ₂<δ₃. Строго возрастаем мб предел ≠0.

Рис. Кси-аюсолют. Uvt- предельный треугол.

Площадь любого треугол будет < предельного, поэтому ограничены

6) Через любые 3 неколлинеарные точки можно провести окружность(в неевклидгеомлобач кроме прямых и окр есть орициклы и эквидистанты)

7) Сущ подобные, но неравные треугол. В неевклгеом имеет место 4-ый признак равенства: если углы треуголсоотв равны, то треугол равны. На сфере мы выйдем на сферу др радиуса.

Замечание. Все евклгеом данной размерностиизоморфны (изометричны)

Сферы могут быть произвол радиуса. В неевклгеомсущпл-ти для любого радиуса

8) Через точку вне прямой можно провести не более одной прямой в этой же пло-типаралельноl.

1826 г Лобач сделал доклад о сущнеевклгеом в которой выпол все аксиомы евклгеом за одним источникам:вместо аксиомы паралельности Евклида выполакспаралельностиЛобач:через точку вне прямой в данной пл-ти проходят по крайней мере 2 прямые не пересекающие данную. Рисунок. Из этой акс след, что через точку Апрох бесконечно много прямых пересек данную и сущ 2 положения таких прямых мд которыми все остальные прямые находятся. l₁∩l=пустому множеству. L₂∩l=пустому множеству.

Рис. Отрезок [BD₁] разбив на 2 x₁ᴗx₂=[BD₁]. Если E₁?x₁, то AE₁ пересекает l. Если D₂?x₂, то AD₂ не пересекает l. По св-вудейст чисел сущ граничная точка F, кот разделяет х₁ и х₂т.е если берем точку выше F-не пересекает, если ниже-пересекает cl. Покажем. Что F?x_2,,AF пересекает l. Предпол, что AF∩l=F^/_, x₁∩ x₂=пустому мн-ву.F?x₁, AF∩l=пустому мн-ву. F₁(справа от F^/), AF₁^/∩BD₁=F₁, AF₁^/∩BD=F₁, F₁?x₂(т.кF граничная точка,AF₁пересl => против)

Прямая AF-предельное положение среди всех прямых пересl, симметрично относ ABсущ предельно положAC. Эти 2 прямые назпаралельнымиl справа и слева остальные прямые m₁m₂ не пересек lназыв расходящимися с l.

Зависит от x(α=п(х), x=|AB)-|угол паралельности. В Евклгеомгеом α=п/2/ α=П(х)=2arctgl^–x/RгеоЛобач где R-радиус кривизны пл-ти лоб; R-большое, то x/Rприбл=0, αприбл=п/2.

При больших радиусах кривизны угол паралел-ти не отличен от прямого. Отличие ральнойгеом от Евкл может выразится в сумме углов треугол. Если оно меньше п, то геомнеЕвкл. ЛОбачпредпол изменить углы треугол с вершинами наход в звездах.

В конце 20 в было установлено что расшир вселенная в различных постр этого расширения(замедл, пост, ускор) соотв 3 классич геом. Вариант ускорения расширения вселенной соотв гипербол геоЛобач, на небольшом расстоянии различны Евкл.,неевклгеом не могут быть измерены

Классические геометрии.

Наиб.общими пр-вами явл. топологические и метрические пр-ва.

Вводится Риманова метрика

2 2 2

ds =g11 dx +2g12dxdy +g22dy

Далее вычисляется кривизна К многообразия

л=0-евклидова геометрия

к<0- геометрия Лабочевского

к>0- сферич или элиптич геометрия Римана

Различия:

Сферичгеом в любойточке к=1/R>0

Сферич прямые представимы в виде окр

Евклидова геом и сферичгеом исследованы

Неевклгеом Лобачевского содержит много проблем и она сложнее евклидовой и сферич,но между ними есть зависимость.

Пл-стьЛобочевского и евклидова пл_тьгомоморфичны.

в трехмерное евклидово пр-во помещена и двумерная сфера, а пл-ть Лобачевского нет.

Смысл геом. Лобачевского:

1в трехмерном евклидовом пр-ве сущповерхности,на кот сущсферичечкая геометрия

2Евклидова геометрия орисфере

3 двумерная геом Лобачевского на эквидистанной поверхности

Виды классич. геом.:

1евклидова

2 Лобачевского

3 сферич и эллиптич Римана

Модель Клейна

III₂. Данное определение неевклидовой геометрии Л₂:

Удобно определять неевклид движения через преобразования (проективные, гиперболические, гомологии).

F(A^|→A) – l-ось гомологии, Р – центр. \

Строим образ.

Р?АА^|, Р?BB^|, ۷A,B Если точка М=АА ∩l, то (РМ,АА´)=1 ↔ f²=id или f=f^-1, f – инволюция.

Гиперболические гомологии f²=id получаются, если l и Р – поляра и полюс относительно овала ξ. ABCD – полный 4-хугольник, вписанный в овал.

A,B,C,D - вершины

P,Q,R’ – диагональные точки

PR=l, (MN,RQ)=-1, (LL’,RQ)=-1

PL=m, PL’=m’ – касательные

PQR – автополярный треугольник, каждая сторона которого, явл полярой противоположной вершины.

Все неевклид движения 1-го рода явл композицией симметрий.

S_l=f

Вопросы к экзамену

1. +Множества. Отношения. Примеры.

2. +Математические структуры. Примеры.

3. +Модели. Примеры.

4. +Изоморфизм.

5. +Аксиоматические теории. Непротиворечивость.

6. +-Независимость аксиом.

7. +-Полнота. Роль теории множеств.

8. +Аксиоматика Вейля.

9. +Непротиворечивость аксиоматики Вейля.

10. +Простейшие следствия аксиоматики Вейля.

11. + Аксиоматика Гильберта. I и II группы.

12. + Аксиоматика Гильберта. III, IV, V группы.

13. +Аксиоматика Погорелова.

14. +Непротиворечивости аксиоматики Погорелова.

15. +Геометрия Лобачевского.

16. + Модель Клейна.

17. + Непротиворечивость геометрии Лобачевского.

18. +Модель Пуанкаре.

Множества и отношения. Примеры.

Если X- мн-ва,то

…= - мн-во всех наборов.

P(x)-мн-ва всех подмножеств Х.

Отношение на множестве Х – это Если , то говорят находится в отношении .

Примеры

1. n=1 наз. Унарное(одинарное) отношение. Это означает, что каждые элементы мн-ва выделены.

2. n=2 бинарное отношение.

1) E – мн-во точек евклидовой плоскости, L – мн-во всех прямых.

(A, ) <=> А - инциндентность или принадлежность.

2) S – мн-во всех треугольников на плоскости или прстранстве.

Среди бинарных отношений выделяются отношения «эквивалентности» которые удовлетворяют 3 свойствам: рефлексивность, симметричность, транзитивность.

3. n=3 тенарное отношение

E -мн-во точек пространства евклида.

(A,B,M) <=>

4. Отображение (ф-ция)

х,у - множества

f: х -> у х->f(х)=у

гр. Ф-ции.

5. Алгебраические операции определяются через отоброжения и поэтому также явл. отношением.

f:

6. Скалярное произведение

G: ) =

7. Меорина

M – пространство точек

-> - неотрицательные числа

8. Откладывание вектора

E - пространство точек

Математические структуры. Примеры

Основным методом в современной математике является аксиоматиче-

ский метод в теоретико-множественном понимании, тесно связанный с поня-

тием математической структуры.

Пусть А1,А2,А3,...,Аn - непустые множества. А1 ЧА2 ЧА3 Ч...ЧАn -

прямое (декартово) произведение этих множеств, т.е. множество всех упоря-

доченных n-местных кортежей (a1;a2;...;an), элемент ai которых, стоящий на

i-ом месте, принадлежит множеству Ai,i =1,2,...,n.

В теоретико-множественной записи:

А1ЧА2 ЧА3 Ч...ЧА ={(a1,a2,...,an)|ai∈Ai}.

n

Определение 1.1.1. Любое подмножество декартова произведения множеств

А1 ЧА2 ЧА3 Ч...ЧА называется n-арным (или n-местным) отношением δ, nопределенным во множествах А1,А2,А3,...,Аn.

Замечание. Из определения имеем:

1) δ ⊂А1ЧА2 ЧА3 Ч...ЧАn.

2) Элементы (a1;a2;...;an)(ai∈Ai,i =1,2,...,n) находятся в отношении δ,ес-

ли (a1;a2;...;an)∈δ.

3) Если А1 = А2 = А3 =...= Аn = A, то А1 ЧА2 ЧА3 Ч...ЧАn = An - n-аядекар-

това степень множества A.

4) Если δ ⊂An, то говорят: на множестве A определено n-арное отношение

δ.

5) В случае бинарного отношения δ ⊂A1 ЧA2 вместо (a1;a2)∈δ пишут a1δa2

- «a1 находится в отношении δ с a2». Например, отношение равенства на

множестве R всех вещественных чисел – бинарное отношение.

6) Пусть на множестве A определена алгебраическая операция (внутренний

закон композиции)

ϕ: AЧA→A.

Ее можно рассматривать как тернарное отношение δ ⊂AЧAЧA= A3, где

δ ={(a,b,c)∈A3 |ϕ(a,b) = c}, a,b,c∈A.

7) Пусть на множестве A определен внешний закон композиции f с множе-

ством операторов Λ:

f:ΛЧA→A.

Его можно рассматривать как тернарное отношение, определенное на множе-

ствах Λ,A при помощи подмножества δ ⊂ΛЧAЧA, т.е.

δ ={(λ,a,b)∈ΛЧAЧA| f (λ,a)=b}, λ∈Λ, a,b∈A.

Рассмотрим конечную систему различных непустых множеств

А1,А2,А3,...,Аn. Пусть, например, n= 3.

7 Пусть σ ={δ1,δ2,...,δk} - некоторая система тернарных отношений, оп-

ределенных на множествах А1,А2,А3 и обладающих свойствами α1,α2,...,αt.

То есть δi - это такое подмножество декартова произведения А1ЧА2ЧА3,

которое обладает всеми свойствами α1,α2,...,αt одновременно.

Может быть, что существует не одна, а несколько таких систем отно-

шений σ ={δ1,δ2,...,δk}. Например, ϕ - алгебраическая операция на множе-

стве R действительных чисел: ϕ:RЧR→R (т.е. ϕ можно рассматривать

как единственное отношение δ ={(a,b,c)∈R3 |ϕ(a,b)=c}, a,b,c∈R). Пусть

отношение δ обладает свойством коммутативности

α1:ϕ(a,b)=ϕ(b,a)∀a,b∈R.

Можно указать два знчения отношения δ, обладающего свойством α1 (т.е.

две коммутативные операции на R): δ′ - сложение, δ′′- умножение, т.е.

δ′ ={(a,b,c)∈R3 |a+b=c},

δ′′ ={(a,b,c)∈R3 |a⋅b=c}.

Пусть Τ - непустое множество всех систем σ ={δ1,δ2,...,δk} отноше-

ний, каждое из которых обладает заданными свойствами α1,α2,...,αt.

Определение 1.1.2. Элемент σ∈Τ определяет на множествах А1,А2,А3

математическую структуру рода Τ.

Определение 1.1.3. Явно сформулированные свойства α1,α2,...,αt, оп-

ределяющие множество Τ, называются аксиомами структуры рода Τ.

Определение 1.1.4. Множества А1,А2,А3 называются базой структуры

рода Τ.

Таким образом, математическая структура рода Т представляет со-

бой одно или несколько множеств А1,А2,А3,...,Аn(образующих базу струк-

туры), элементы которых произвольной природы (основные, неопределяемые

понятия данной теории) и находятся в некоторых отношениях

δ1,δ2,...,δ (называемых основными неопределяемыми отношениями), удов-

летворяющих аксиомам α1,α2,...,αt.

Аксиомы иногда характеризуют не одну с точностью до изоморфизма,

а некоторое множество математических структур. Совокупность всех струк-

тур, определенных данной системой аксиом Σ ={α1,...,αt}, называется родом

Т этих структур.

Совокупность предложений, которые можно вывести логическимпу-

тем из аксиом структуры, называется теорией структуры рода Т.

В 30-х годах ХХ в. Н. Бурбаки определил математику как науку о ма-

тематических структурах. Математические структуры подразделены им на

три вида: алгебраические, порядковые и топологические. Евклидово, псевдо-

евклидово, риманово, псевдориманово пространства, пространственно-

временной континуум являются примерами структур топологического типа.

8 Рассмотрим простейшие структуры алгебраического типа. Всем струк-

турам одного и того же рода дают специальное название: структура группы,

структура n-мерного векторного пространства и др.

Пример 1.1.1. (структура группы). Система σ ={δ1,δ2,...,δk} отноше-

ний состоит из одного тернарного отношения δ ⊂GЧGЧG=G3, соответст-

вующего алгебраической операции:

ϕ:GЧG→G

(т.е. ϕ можно рассматривать как единственное отношение

δ ={(a,b,c)∈G3 |ϕ(a,b)=c}, a,b,c∈G). База состоит из одного множества

G. Три аксиомы системы аксиом Σ ={α1,α2,α3} структуры группы:

α: ∀a,b,c∈G:ϕ(ϕ(a,b),c)=ϕ(a,ϕ(b,c)) - аксиома ассоциативности;

α2:∃e∈G∀a∈Gϕ(a,e)=ϕ(e,a)=a - существование нейтрального элемен-

та;

α3:∀a∈G∃a′∈G ϕ(a,a′)=ϕ(a′,a)=e - существование симметричного

элемента.

Пример1.1.2. (структура n-мерного векторного пространства над заданным

полем).

База состоит из двух множеств – основного множества V (его элементы -

векторы – основные неопределяемые понятия); вспомогательного множест-

ва K(его элементы условно называются скалярами). Система отношений

σ ={δ1,δ2,...,δk} состоит из двух тернарных отношений:

δ1 ⊂KЧVЧV, δ1 ={a, xr, yr | f (a, xr)= yr}, a∈K, xr, yr∈V;

δ2 ⊂V ЧVЧV =V3, δ2 ={(ar,br,cr)|ϕ(ar,br) = cr}, ar,br,cr∈V.

Аксиомы структуры векторного пространства V над полем K:

α1:∀λ,μ∈K∀ar∈V f (λ, f (μ,ar)= f (λμ,ar);

α2:∀λ,μ∈K∀ar∈V f (λ+μ,ar)=ϕ(f (λ,ar), f (μ,ar));

α3:∀ar∈V f (1,ar)=ar;

α ∀r r∈∀λ∈ λ ϕ r r =ϕ λ r λ r;

4:a,b V, K f (, (a,b)) (f (,a), f (,b))

α5:∃0r∈V ∀ar∈Vϕ(0r,ar) =ϕ(ar,0r) = ar;

α∀ar∈V∃ −ar∈V ϕar −ar =ϕ −arar = r;

6: () (,()) ((),) 0

α7:ϕ(ar,br)=ϕ(br,ar)∀ar,br∈V;

α8:ϕ(ar,ϕ(br,cr))=ϕ(ϕ(ar,br),cr)∀ar,br,cr∈V.

Таким образом, теория структур рода Т – это множество предложе-

ний (теорем), являющихся логическими следствиями аксиом структуры рода

Τ.

Предметом математики являются математические структуры. Основ-

ной метод математики – дедуктивный аксиоматический (от общих акси-

ом к частным следствиям из них):

- вводятся неопределяемые, первичные понятия структуры;

- вводятся основные отношения;

- структуры строятся с помощью аксиом;

- затем, используя законы логики, строится теория структур данного рода.

Модели. Примеры.

Модели(интерпретации)если даны 2 аксиоматические теории S(«старая»), T(«новая»),то построить модели теории T на основе S означает следующее:

1)первоначальное понятие Т определяется на основе S