классификация неопределённостей.

Если работают 2 и более функций, то возникают неопределенности.

1. Limf+limg=Lim(f+g)

Limf limg		c	∞
		c	∞
c	c	c	∞
∞	∞	∞	∞

Действие сложения неопределённости не даёт.

1. Lim(f-g)=Limf-Limg

Lim f Lim g		C	∞
		c	∞
c	-c	c	∞
∞	-∞	-∞	?

Действие вычитания даёт неопределённость [∞-∞]

1. Lim(f*g)=Lim f* lim g

Limf Limg		c	∞
			?
c		c	∞
∞	?	∞	∞

Действие умножения даёт неопределённость [∞*0]

1. Lim(f/g)=

Lim f Lim g		c	∞
	?	∞	∞
c		c	∞
∞			?

Действие деления даёт неопределённость [ ] и [ ]. [∞*0] и [ ] равнозначны

 

Методы раскрытия неопределённостей

1. [ ]

• Правило Лопиталя
• Деление на самую быстрорастущую функцию:
• Во всей дроби найти самую быстрорастущую ф-ю и взять ее без коэффициента
• Разделить и числитель и знаменатель на это функцию
• Применить свойства пределов и св-ва величин бесконечно больших и бесконечно малых

В результате раскрытия неопределённости [ ] может получиться либо 0, либо сonst либо ∞.

1. [ ]

• 1ый Замечательный Предел(используется при наличии тригонометрических функций в выражении)
• Разложение на множители
• Правило Лопиталя

1ый Замечательный Предел

Необходимо отслеживать:

· sin делиться точно на свой аргумент

·

Разложение на множители

Методы:

1. общий множитель за скобку
2. использовать формулы сокращенного умножения
3. разложение на множители квадратного трехчлена
4. домножение до формулы сокращенного умножения

Идея: выделение множителей так, чтобы бм величину выделить и сократить

1. [∞-∞]

Случаи:

· Хотя бы 1 дробь в выражении-приводим к общему знаменателю, получаем дробь, которая может дать и [ ]

· Оба целые - домножаем до формулы сокращенного умножения:

a-b

Важно:

Если степени старшего коэффициента при старшем члене одинаковы во всём выражении - можно сразу просто домножать до формулы

Если разные и степени, и коэффициенты - старшее слагаемое с коэффициентом - за скобку

 

Непрерывность функции в точке, классификация разрывов

Определение.

 

Если выполняются все равенства - функция непрерывна в точке x=a.

Если не выполняется хотя бы одно равенство - образуется разрыв.

· -предел слева не равен пределу справа, оба значения функции в точке конечны(числа)-РАЗРЫВ 1-ГО РОДА

· - предел слева не равен пределу справа, но хотя бы один одностронний предел бесконечен –РАЗРЫВ 2 РОДА

· -УСТРАНИМЫЙ РАЗРЫВ

 

Определение производной функции. Пример вычисления производной по определению.

1. f’ = [ C; 0

Производная функции равна пределу отношения приращения функции к вызывающему его приращению аргумента, если он существует и конечен.

2. Пример: ( = 2x

x

==

( = = [ ]

( = = = 2x

 

Таблица производных.

(С)’ = 0		=
( = n		=
( =
=