Определение расстояния между двумя точками

 

Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка, соединяющего эти точки. Для определения расстояния между двумя точками А и В необходимо соединить их отрезком АВ (рис. 4.4), затем узнать длину этого отрезка. Отрезок общего положения не параллелен ни одной из плоскостей проекций. Длины проекций А₁В₁ и А₂В₂ меньше длины отрезка АВ. Для того чтобы узнать длину отрезка АВ, необходимо спроецировать его в натуральную величину и измерить эту проекцию, так как она равна отрезку АВ.

Введем новую плоскость проекций П₄ параллельно отрезку АВ и перпендикулярно П₁. При этом новая ось x₁₄ будет параллельна А₁В₁ (в противном случае прямая АВ и плоскость П₄ пересекутся). Угол наклона отрезка АВ к плоскости П₄ равен нулю, и АВ на П₄ проецируется в натуральную величину, т.е. А₄В₄ = АВ. Измерив отрезок А₄В₄, получим длину отрезка АВ.

Каждая из точек А₄ и В₄ строилась с использованием правила замены плоскостей проекций. Расстояние между А₁В₁ и x₁₄ не влияет на величину А₄В₄, и поэтому может быть взято произвольно. В результате введения П₄ выполнен переход от системы (П₁П₂) к системе (П₁П₄), в которой прямая АВ, проходящая через отрезок АВ, является линией уровня.

На плоскости П₄ (рис. 4.4) кроме А₄В₄ = АВ получили угол a, который равен углу между АВ и плоскостью П₁, так как плоскость этого угла параллельна плоскости П₄. Если ввести новую плоскость П₅ параллельно АВ и перпендикулярно П₂, то новая ось x₂₅ будет параллельна А₂В₂. Получим А₅В₅ = АВ и угол b, который равен углу между АВ и плоскостью П₂, так как плоскость этого угла параллельна плоскости П₅.

 

Проецирование прямой общего положения в точку на новую

Плоскость проекций

 

Придание фигурам частного положения относительно плоскостей проекций значительно облегчает решение многих задач. Для того чтобы прямая общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей прямой, необходимо, чтобы новая плоскость проекций была перпендикулярна прямой. Прямая на эту плоскость спроецируется в точку. Плоскость, перпендикулярная прямой общего положения, является плоскостью общего положения. Введение такой плоскости в качестве новой плоскости проекций невозможно, так как новая плоскость проекций должна быть перпендикулярна одной из старых плоскостей проекций. Таким образом, решить задачу проецирования прямой общего положения в точку одной заменой плоскости проекций нельзя. Поэтому попытаемся решить задачу сначала для прямой частного положения, а именно – для прямой уровня.

Пусть h(h₁, h₂) – горизонталь (рис. 4.5). Введем новую плоскость проекций П₄ перпендикулярно h. Поскольку h параллельна П₁, то П₄ будет перпендикулярна П₁. Плоскость П₄ может быть взята в качестве новой плоскости проекций и на нее h спроецируется в точку. Новая ось x₁₄ перпендикулярна проекции h₁, так как h₁ параллельна h и, значит, перпендикулярна П₄ и x₁₄. Для построения новой проекции горизонтали построим новые проекции двух ее точек 1 и 2. Новые проекции этих точек, построенные по правилу замены плоскостей проекций, совпадают. Так как точки 1 и 2 взяты произвольно, то проекции остальных точек горизонтали тоже совпадут, т.е. горизонталь проецируется на П₄ в точку.

Используя решение задачи проецирования линии уровня в точку, можно выполнить проецирование прямой общего положения m в точку (рис. 4.6). Введем новую плоскость проекций П₄ параллельно прямой m и перпендикулярно П₁. Новая ось x₁₄ параллельна горизонтальной проекции m₁. По новым проекциям двух произвольных точек 1 и 2 прямой m находим m₄. В новой системе плоскостей (П₁П₄) прямая m является линией уровня, она параллельна П₄ (при этом m₁ параллельна x₁₄). Теперь, используя решение предыдущей задачи (рис. 4.5), проецируем прямую m в точку. Для этого вводим новую плоскость проекций П₅ перпендикулярно прямой m и перпендикулярно П₄. Прямая m на П₅ проецируется в точку. В новой системе плоскостей проекций (П₄П₅) прямая m является проецирующей прямой.