Лекция 2: Двоичная и шестнадцатеричная арифметика. Представление чисел.

Числа, которыми мы привыкли пользоваться, называются десятичными и арифметика, которой мы пользуемся, также называется десятичной. Это потому, что каждое число можно составить из набора цифр содержащего 10 символов - цифр - "0123456789".

Но десятичная арифметика не единственная.

В областях знаний связанных с компьютерной техникой часто используют арифметику, в которой числа составляются из шестнадцати цифр, соответственно эта арифметика называется шестнадцатеричной. Чтобы понять, что такое число в не десятичной арифметике сначала выясним, что такое число в десятичной арифметике.

Возьмём, к примеру, число 246. Эта запись означает, что в числе две сотни, четыре десятка и шесть единиц. Следовательно, можно записать следующее равенство:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10² + 4 * 10¹ + 6 * 10⁰

Наиболее интересна нам сейчас третья форма записи: 2 * 10² + 4 * 10¹ + 6 * 10⁰. Она устроена следующим образом:

В нашем числе три цифры. Старшая цифра "2" имеет номер 3. Она умножается на 10 во второй степени. Следующая цифра "4" имеет порядковый номер 2 и умножается на 10 в первой. Цифра 6 умножается на 10 в нулевой степени. Как можно видеть из примера, каждая цифра умножается на 10 в степени i-1, где i – номер положения этой цифры в числе. Или, записывая в общем виде:

a_na_n-1….a₂a₁ = a_n * 10^n-1 + a_n-1 * 10^n-2 + …. + a₂ * 10¹ + a₁ * 10⁰

Где n – количество цифр в числе, a_i это символ из набора "0123456789"

Десятка является основой образования числа.

Если 10 заменить на 2, то получим:

 

a_na_n-1….a₂a₁ = a_n * 2^n-1 + a_n-1 * 2^n-2 + …. + a₂ * 2¹ + a₁ * 2⁰

 

где a_i это символ из набора "01".

 

Если а=16, то выражение получает следующий вид:

 

a_na_n-1….a₂a₁ = a_n * 16^n-1 + a_n-1 * 16^n-2 + …. + a₂ * 16¹ + a₁ * 16⁰

где для обозначения цифр от 0 до 9 используются арабские цифры, а для обозначения цифр от 10 до 15 используются латинские буквы от A до F.

В итоге получаем, что 16-тиричная система соотносится с двоичной и 10-ной следующим образом:

 

Таблица 1:
Десятичная	Двоичная	шестнадцатеричная
		A
		B
		C
		D
		E
		F

 

При написании чисел в различных системах, необходимо отмечать в какой системе они написаны. Это можно сделать разными способами. К примеру, в Си, если число записано без каких-либо дополнительных знаков, то оно считается десятичным. Прибавление к числу в начале знаков “0x” означает, что число записано в 16-тиричной форме. Например: 0xAB – это запись в 16-тиричном виде десятичного числа 171.

Для записи чисел в двоичном виде используется комбинация “0b”. Т.е. десятичное число 123 будет выглядеть так: 0b1111011.

 

Перевод чисел из одной системы в другую.

Перевод двоичных чисел.

Возьмём, к примеру, следующее двоичное число 1011. Разложим его по степеням двойки. Получим следующее:

1011 = 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 1 * 2⁰

Выполнив все записанные действия, получим:

1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 8 + 0+ 2 + 1 = 11.

 

Следовательно, двоичное число 1011 равно 11 в десятичной системе.

Отметим, что в двоичном представлении число имеет большее число разрядов, чем в десятичном.

Перевод 16-тиричных чисел.

 

Эти числа можно перевести двумя способами.

1) Так же как и прошлый раз представить число в виде суммы: a_na_n-1….a₂a₁ = a_n * 16^n-1 + a_n-1 * 16^n-2 + …. + a₂ * 16¹ + a₁ * 16⁰

2) Представить 16-тиричное число в двоичном виде, а затем только перевести его в 10-й вид.

 

Разберём второй способ подробнее. При переводе 16-тиричного числа в 2-е каждую 16-тиричную цифру заменяют соответствующей ей 2-й комбинацией из 4-х цифр. Например, необходимо перевести уже рассмотренное выше число 0xAB в двоичный код. “А” соответствует в двоичном виде число 0b1010 (см. таблицу 1), а число “B” – 0b1011. В итоге получаем 0b10101011.

Перевод десятичного число в двоичное.

Для того, чтобы преобразовать десятичное число в двоичное, его нужно разложить по степеням двойки.

Преобразование в двоичную систему производится следующим методом:

Если число не делится на 2, то отнимают двойку и в двоичное число пишут 1.

Если же делится, то ничего не отнимают и записывают ноль.

Возьмём десятичное число 23.

23/2=11+1

11/2=5+1

5/2=2+1

2/2=1+0

1/2=0+1

Наше искомое двоичное число 10111.