Глава 5. Арифметические основы цифровой техники

В цифровых устройствах приходится иметь дело с обработкой различных видов информации. Это может быть в чистом виде двоичная информация, такая как включен прибор или выключен, исправно устройство или нет. Полезная информация может быть представлена в виде текстов, и тогда приходится буквы алфавита, цифры и вспомогательные символы кодировать при помощи двоичного представления. Достаточно часто полезная информация может представлять собой числа. Числа могут быть представлены в различных системах счисления. Форма записи в них чисел существенно различается между собой, поэтому, прежде чем перейти к особенностям представления чисел в цифровой технике, рассмотрим их запись в различных системах счисления.

Системы счисления

Начнем с определения системы счисления. Система счисления — это совокупность правил записи чисел цифровыми знаками. Системы счисления бывают позиционные и непозиционные. В настоящее время и в технике и в быту широко используются как позиционные, так и непозиционные системы счисления. Сначала рассмотрим примеры непозиционных систем счисления.

В качестве классического примера непозиционной системы счисления обычно приводят римскую форму записи чисел. Тем не менее, это не единственная непозиционная система счисления, используемая в настоящее время. Сейчас, как и в глубокой древности, для записи числа используются так называемые "палочки". Эта форма записи чисел наиболее понятна и требует для записи числа всего один символ. Записанное число образуется суммой этих "палочек". Однако при записи больших чисел при помощи такой системы счисления возникают неудобства. Число получается громоздким и его трудно читать.

В следующем варианте непозиционной системы счисления для записи числа используется несколько символов (цифр). Каждая цифра обозначает определенное (различное) количеств единиц. Результирующее число точно так же как и в предыдущем варианте образуется суммой отдельных цифр. Наиболее яркий вариант использования такой системы счисления — это денежные отношения. Мы с ними сталкиваемся каждый день. В процессе товарно-денежных отношений никому не приходит в голову, что сумма, которую мы выкладываем за товар, может зависеть от того, в каком порядке мы расположим монеты на столе! Номинал монеты или банкноты не зависит от того, в каком порядке она была вынута из кошелька. Это классический пример непозиционной системы счисления.

Однако чем большее число требуется представить в такой системе счисления, тем большее количество цифр требуется для этого. Позиционные системы счисления были придуманы относительно недавно для того, чтобы сэкономить количество цифр, используемое для записи больших чисел.

Значение цифры в позиционной системе счисления зависит от ее позиции в записываемом числе. В позиционной системе счисления выделяются два очень важных понятия — основание системы счисления и вес цифры. Дело в том, что в позиционной системе счисления число представляется в виде формулы разложения:

A_p = a_n pⁿ + a_n–1 p^n–1 + … + a₂ p² + a₁ p¹ + a₀ p⁰ + a_–1 p^–1 + a_–2 p^–2 + … + a_–k p^–k,

где p — основание системы счисления;

pⁱ — вес единицы данного разряда;

a_i — цифры, разрешенные в данной системе счисления.

При этом количество цифр в системе счисления зависит от ее основания — p. Количество цифр равно основанию системы счисления. В двоичной системе счисления используются две цифры, в десятичной — десять, а в шестнадцатеричной — шестнадцать цифр. Число в любой позиционной системе счисления записывается в виде последовательности цифр, без уточнения веса разрядов:

A = a_n a_n–1 … a₁ a₀, a_–1 a_–2 … a_{– k} ,

где a_i — цифры данной системы счисления, а цифра, соответствующая единицам определяется по положению десятичной запятой (или десятичной точки в англоязычных странах). Каждая цифра, использованная в записи числа, называется разрядом.

Какие же системы счисления применяются в настоящее время? Первый ответ, который я ожидаю — это десятичная система счисления. А еще? Да, да не удивляйтесь! Мы широко используем и другие системы счисления! Достаточно посмотреть себе на левую руку. Там мы увидим часы. Сколько минут помещается в часе? Шестьдесят! Сколько секунд помещается в минуте? Шестьдесят! Налицо признаки шестидесятеричной системы счисления. Это наследование древней вавилонской системы счисления, которую вместе с компасом и часами европейцы заимствовали от арабов.

А еще примеры? Да сколько угодно! Картушка компаса делится на восемь румбов. Чем не восьмеричная система счисления? А давно ли в России отказались от полушек (четверть копейки) или грошей (половина копейки)? А следующее значение монеты — две копейки! Чем не двоичная система счисления?

Ну а теперь подробнее остановимся на системах счисления, наиболее часто используемых в цифровой технике.