Правила построения кода Голея

 

Код Голея - это двоичный линейный блочный совершенный код. При определенном построении код может быть систематическим. Код Голея является непримитивным кодом БЧХ над полем с параметрами:

- длина кодового слова ;

- длина информационной части ;

- число исправляемых ошибок .

В зависимости от того, какой неприводимый многочлен используется для построения поля , могут быть получены два двойственных по отношению друг к другу порождающих многочлена кода Голея:

 

(1.23)

и

.

(1.24)

Код Голея может быть расширен добавлением общей проверки на четность. У расширенного (24,12)-кода Голея и . Спектр этих кодов приведен в [4].

Код Голея с параметрами (23,12) является единственным известным нетривиальным совершенным двоичным кодом, исправляющим кратные ошибки.

Правила построения кода Рида-Соломона

Коды Рида-Соломона являются подмножеством кодов БЧХ.

Длина кодового слова задается следующим выражением:

.

(1.25)

В коде Рида-Соломона, исправляющем t ошибок, порождающий многочлен записывается в виде

,

(1.26)

где - начальная степень поля Галуа.

Минимальное расстояние удовлетворяет неравенству

.

(1.27)

Пример. Необходимо определить порождающий полином кода Рида-Соломона с параметрами: , над полем ; =4. Полином имеет вид

.

Информационный полином представляет собой последовательность из пяти шестнадцатиричных символов (что эквивалентно двадцати битам).

 

Правила построения кода Вайнера-Эша

 

Класс двоичных сверточных кодов, исправляющих одну ошибку и называемых кодами Вайнера-Эша, аналогичен классу кодов Хэмминга.

Для каждого положительного целого существует - код Вайнера-Эша, который определяется проверочной матрицей кода Хэмминга. Это проверочная -матрица, в которой все столбцов различны и ненулевые. В данной матрице используем ее строки для определения множества -матриц . Обозначим через вектор-строку, все элементов которой равны единице.

Проверочная матрица кода Вайнера-Эша запишется в виде

,

(1.28)

где 1 - матрица размера 1×1, состоящая из одной единицы, и 0 - матрица размера 1×1, состоящая из одного нуля.

По проверочной матрице получена порождающая матрица для кода Вайнера-Эша, имеющая вид:

,

(1.29)

где 1 - единичная -матрица; 0 – матрица того же размера, состоящая из нулей; - матрицы размера .

Минимальное кодовое расстояние кода Вайнера-Эша равно 3, т.е. он позволяет исправлять одну ошибку.

Пример. Построим порождающую и проверочную матрицы для (4,2)-кода Вайнера-Эша при .

Тогда =1, = 0, а проверочная и порождающая матрицы имеют вид:

; .