Специальные задачи линейного программирования

Задача целочисленного программирования

Решая Задачу 1.1 мы не учитывали того, что количество единиц продукции должно быть целым. Однако не всякую продукцию можно дробить на части.

Рассмотрим исходные данные Задачи 1.1 с тем условие, что в качестве продукции будут выступать ковры 4 – х видов:

Таблица 8

Тип ресурса	Нормы затрат ресурса на один ковер	Наличие ресурсов (ед.)
Сырье
Рабочее время
Оборудование
Прибыль (руб.)

 

В данном случае, математическая модель аналогична математической модели Задачи 1, но добавляется новое условие xi – целые числа.

Таблица 9

Неизвестные
x1 –количество ковров 1 - ого вида, x2 – –количество ковров 2 - ого вида, x3 –количество ковров 3 - его вида, x4 –количество ковров 4 - ого вида.
Целевая функция	Ограничения
Р=30*x1+25*x2+8*x3+16* x4 (руб.)	3*x1+5*x2+2*x3+4*x4 60, 22*x1+14*x2+18*x3+30*x4 400, 10*x1+14*x2+8*x3+16*x4 120, xi 0, i=1,2,3,4, xi – целые числа.

Данное условие оформляется в окне Поиск решения следующим образом (см. рис. 21):

Рис.21 Добавление ограничения

Примечание: Для задач целочисленной оптимизации не предусмотрено вывода отчета по устойчивости.

 

Транспортная задача

Общая постановка транспортной задачи

Пусть имеется m поставщиков у которых сосредоточен однородный груз в количестве единиц (), который требуется перевезти n потребителям в количестве единиц (). Известна стоимость перевозки одной единицы груза от i поставщика к j потребителю, она задается матрицей

.

Составить такой план перевозок, при котором стоимость перевозок будет минимальной.

 

Математическая модель транспортной задачи

Обозначим - количество единиц груза, которое необходимо перевезти от i поставщика к j потребителю, тогда стоимость перевозки составит .

 

Стоимость перевозки всего плана выражается суммой

. (9)

Так как все грузы должны быть перевезены и все потребности должны быть удовлетворены, то получаем следующие ограничения:

(10)

(11)

(12)

Т.о. математическая модель транспортной задачи имеет следующий вид: требуется найти минимум функции (9) при ограничениях (10)-(12).

Теорема 1: Транспортная задача разрешима тогда и только тогда, когда , т.е. сумма запасов и потребностей совпадают.

В случае, если запасы превышают потребности, т.е. , то вводится фиктивный потребитель , потребность которого описывается формулой .

В случае, если потребности превышают запасы, т.е. , то вводится фиктивный поставщик , запасы которого описывается формулой .

Так как груз от фиктивного поставщика к фиктивному потребителю не перевозится, то стоимость перевозок полагается равной нулю .

 

Закрытая транспортная задача

Минимизация стоимости перевозок кирпича

Постановка задачи

Для строительства четырех объектов используется кирпич, изготавливаемый на трех заводах. Ежедневно каждый из заводов может изготавливать 100, 150 и 50 усл. ед. кирпича. Ежедневные потребности в кирпиче на каждом из строящихся объектов равны 70, 80, 60 и 90 усл. ед. Известны также тарифы перевозок 1 усл. ед. кирпича с каждого из заводов к каждому из строящихся объектов, они заданы матрицей С следующего вида:

. (***)

Составить такой план перевозок кирпича от заводов к стоящимся объектам, при котором общая стоимость перевозок будет минимальной.

 

Представим данные задачи в виде следующей таблицы:

Таблица 10

	Стоимость перевозки 1 усл. ед. кирпича с завода к строящемуся объекту	Возможности заводов
Объекты Заводы
I
II
III
Потребность объектов в кирпиче

В данной задаче потребность всех объектов в кирпиче равна запасам всех заводов (70+80+60+90=100+150+50), т.е. она является закрытой, а следовательно разрешима.

Решение