Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Глава 5. Регрессионные модели с одной входной переменной
Основные понятия
Технологические процессы машиностроительного производства, особенно процессы обработки резанием конструкционных материалов, очень сложны по своей физико-химической природе. До сих пор отсутст- вуют принятые всеми аналитические модели, точно описывающие законо- мерности процессов изнашивания и нагружения инструмента, тепловых процессов в зоне резания и т. д. Поэтому в технологии машиностроения очень часто используют модели, которые мы ранее обозначили как эмпи-
1 Методика отсеивания грубых выбросов по таблицам критических разностей рассмотрена в кн.: Рогов В. А. Методика и практика технических экспериментов: учеб. пособие. М., 2005. 288 с. рические. Эмпирические модели объектов и процессов представляют со- бой результат обработки экспериментальных данных о поведении объекта или процесса методами математического статистического анализа. Очень часто для построения моделей объектов по результатам эксперименталь- ных исследований используют математический аппарат регрессионного и корреляционного анализа. Термины «регрессия» и «корреляция» были введены в широкое упот- ребление статистиками Ф. Гальтоном и К. Пирсоном в конце XIX в. Они изучали взаимозависимости роста и массы людей разного возраста и стол- кнулись с необходимостью введения таких показателей указанной зависи- мости, которые бы отражали связь между исследуемыми характеристика- ми человека, но не определяли бы друг друга строго однозначно. В насто- ящее время «регрессия» и «корреляция» – основные понятия статистики. Основная задача корреляционного анализа – выявление значимости связи между значениями различных случайных величин. Зависимость меж- ду величинами (в том числе и случайными), при которых одному значению одной величины (аргумента) отвечает одно или несколько вполне опре- деленных значений другой величины, называется, соответственно, одно- значной или многозначной функциональной зависимостью [11]. Зависи- мость между величинами, при которой каждому значению одной величины отвечает с соответствующей вероятностью множество возможных значе- ний другой, называют вероятностной (стохастической, статистической). Примерами корреляционной связи являются зависимости между предела- ми прочности и текучести стали определенной марки, между погрешно- стями размера и погрешностью формы поверхности детали, между темпе- ратурой испытания и прочностью материала и т. д.
Математический аппарат регрессионного анализа позволяет: ● оценить неизвестные параметры предлагаемой к исследованию регрессионной модели; ● проверить статистическую значимость параметров модели; ● проверить адекватность модели; ● оценить точность модели. Вид регрессионной модели предлагает сам исследователь, при этом он исходит из следующего: ● физической сущности изучаемого объекта или явления; ● характера экспериментального материала; ● анализа априорной информации. Самым простым для моделирования является объект, у которого один входной и один выходной фактор (рис. 5.1). Входной фактор характе- ризует воздействие на исследуемый объект. В технологических процессах машиностроения это могут быть температура, сила, время, геометрические параметры инструмента, характеристики обрабатываемого и инструмен- тального материалов и т. д. Выходной фактор характеризует реакцию (от- клик) объекта на воздействие входного фактора. Выходные факторы в тех- нологических процессах машиностроения – длина пройденного инстру- ментом пути, величина износа, напряжения, качество обработанной по- верхности и т. д.
Рис. 5.1. Объект исследования с одним входным и одним выходным фактором
Для начала построения эмпирической модели необходимо иметь данные экспериментальных исследований объекта (в виде таблицы или графика), в которых каждому значению входного фактора (X) соответству- ет значение выходного фактора (Y), т. е. известна пара чисел (хi, yi). Пары случайных переменных (x, y) подчиняются некоторому двумерному веро- ятностному распределению. Общее количество пар чисел пусть равно m (рис. 5.2).
Рис. 5.2. Графическое отображение результатов эксперимента Данный график называется диаграммой рассеяния, или точечной диаграммой [12]. Необходимо найти такую кривую, которая бы наилуч- шим образом аппроксимировала экспериментальные точки. Для удобства дальнейшего исследования объекта эта кривая должна иметь для своего описания одну единственную формулу (функцию). Если мы соединим точ- ки на графике, то получим ломаную линию, состоящую из нескольких прямых отрезков и описываемую соответствующим количеством линей- ных моделей. Это крайне неудобно для исследования. Необходимо найти кривую, наилучшим образом описывающую все экспериментальные точки (рис. 5.3). Такую кривую называют кривой регрессии, или регрессионной кривой Y по X. В общем случае кривая регрессии может иметь любой вид (монотонно возрастающая, монотонно убывающая, с точками перегиба и т. д.), но она должна быть непрерывной, т. е. не должна иметь разрывов. В самом простом случае кривая регрессии имеет вид прямой линии.
Рис. 5.3. Построение линии регрессии
Обычно построение моделей и исследование объекта начинают с са- мых простых моделей – линейных. Линейной модели соответствует кривая регрессии в виде простой линии. Как видно из графика (см. рис. 5.3), всегда имеются отклонения экс- периментальных точек от кривой регрессии, что вызвано влиянием других (неучтенных в модели) внешних факторов на исследуемый объект. В моде- лировании выходной фактор еще называют зависимой выходной перемен- ной, а входной – независимой входной переменной. Во время исследования объекта входной фактор всегда носит детерминированный характер, а вы- ходной – случайный. Выражение, которое устанавливает связь между случайной зависи- мой и детерминированной независимой переменными, представляет собой уравнение регрессии. Термин «уравнение регрессии», строго говоря, не со- всем корректный [12], но общепринятый. Модель, построенная на основе уравнения регрессии, является регрессионной моделью. Как указывалось ранее, для получения регрессионных моделей (уравнений регрессии) ис- пользуется математический аппарат регрессионного анализа. Итак, как мы уже говорили, подбор кривой регрессии и регрессион- ной модели обычно начинают с простой прямой линии и, соответственно, с линейной модели. Если иметь неограниченно большое количество экспе- риментальных точек, то линейная регрессионная модель имеет вид [12]
y = β0 + β1 · x + e, (5.1)
ŷ = β0 + β1 · x, (5.2)
где ŷ – значения выходной переменной, рассчитанные (предсказанные) по линейной модели; x – значения входной переменной; β0 и β1 – коэффициенты регрессии; e – остаток (невязка). Определение коэффициентов регрессии осуществляется на основе метода наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов применяют в тех случаях, когда случайная вариация входного фактора пренебрежи- тельно мала по сравнению с наблюдаемым диапазоном его измерения [12], т. е. значения входной переменной считаются фиксированными. Суть мето- да в том, что подбираются такие β0и β1, при которых сумма квадратов от- клонений измеренных величин y от предсказанных ŷ была бы минимальной. Для пар наблюдений можно записать
y = β0 + β1 xi + e i. (5.3)
Отклонение измеренной величины y от предсказанной ŷ
e i = yi – ŷ = yi – (β0+ β1) x. (5.4) Сумма квадратов отклонений выражается в виде
m m S = ε2 = (y - β - β x), (5.5) å i i =1 å i i =1
0 1 i
где S – функция суммы квадратов. Подберем b 0и b 1так, чтобы при подстановке их вместо β0и β1значе- ние S было минимальным из возможных. Найдем частные производные (∂):
¶ S m = -2 (y - β - β x)2, (5.6)
¶β0 å i i =1 0 1 i
x (y - β - β x)2. (5.7)
¶β1 å i i i =1
0 1 i
Наименьшее значение суммы квадратов отклонений достигается в том случае, когда коэффициенты β0и β1 удовлетворяют условию [11]
¶ S
¶β0 = ¶ S ¶β1 = 0. (5.8)
Имеющиеся экспериментальные данные в виде пар (хi, yi) являются лишь ограниченной выборкой из общего числа состояний исследуемого объекта. Поэтому можно определить только оценки коэффициентов β0и β1, которые обозначают, соответственно, b 0и b 1.
ŷ = b 0 + b 1 x. (5.9)
Такие модели в литературе часто называют однофакторными рег- рессионными моделями. Коэффициент регрессии b 1определяется по фор- муле [12]
b 1= m å(xi - x)(yi - y) i =1 m
, (5.10) å i =1 (xi - x)2
где хi – значение входного фактора во время эксперимента; yi – значение выходного фактора, соответствующее xi; ¯ x – среднее значение входного фактора, определяемое по формуле
m å xi x = i =1 m
, (5.11)
¯ y – среднее значение выходного фактора, определяемое по формуле
m å yi y = i =1 m
. (5.12)
Коэффициент регрессии b 0
b 0 = ¯ y – b 1¯ x. (5.13)
Получаем
ŷ = ¯ y + b 1(xi – ¯ x), (5.14)
где ¯ x и ¯ y – координаты «центра тяжести» экспериментальных данных, через который обязательно проходит линия регрессии.
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 496; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.220.253.4 (0.032 с.) |