ГЛАВА III. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

 

Лекция 9 §1. Основные понятия

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию и ее производные , т.е. уравнение вида

, (1.1)

где - некоторая функция переменных.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, явно входящей в это уравнение.

Решением дифференциального уравнения (1.1) называется функция , которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество. Процесс отыскания решений дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид уравнения первого порядка следующий:

. (2.1)

Если уравнение (2.1) удается разрешить относительно , то получим уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

. (2.2)

Теорема (о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка). Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области содержащей точку на плоскости Oxy, то в некоторой окрестности точки существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее условию: .

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что в указанной окрестности существует и притом единственная интегральная кривая уравнения проходящая через точку .

Условие, что при функция должна равняться заданному числу , называется начальным условием. Оно записывается в виде или . Задача отыскания решения уравнения, удовлетворяющего начальному условию, носит название задачи Коши.

Определение.Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

, (2.3)

удовлетворяющая следующим условиям:

1) она является решением дифференциального уравнения при любом конкретном значении постоянной ;

2) для любых начальных условий , где можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию.

Равенство вида , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения. Решение, полученное из общего решения (интеграла) дифференциального уравнения при фиксированном С называется частным решением(интегралом) этого уравнения.

Пример экономической задачи, приводящей к дифференциальному уравнению

 

Задача (экономическая модель естественного роста).

Пусть y(t) – объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Предположим, что вся производимая продукция реализуется по фиксированной цене p. Тогда доход отрасли к моменту времени t составит . Пусть величина инвестиций направляемых на расширение производства есть . В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т.е. . Полагая, что величина инвестиций составляет фиксированную часть дохода, получим , где m – постоянная величина (так называемая норма инвестиций), 0< m <1. Подставляя в исходное уравнение, получим дифференциальное уравнение где Решая его с начальным условием получим частное решение .