О методах построения функций принадлежности нечетких множеств

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого х ϵ Е значение μ_А(х), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности ис­пользуются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выде­лить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Шкалы в задаче распознавания лиц

x1	высота лба	низкий	высокий
x2	профиль носа	курносый	горбатый
x 3	длина носа	короткий	длинный
x4	разрез глаз	узкие	широкие
x 5	цвет глаз	светлые	темные
x 6	форма подбородка	остроконечный	квадратный
x7	толщина губ	тонкие	толстые
x 8	цвет лица	темный	светлый
x9	очертание лица	овальное	квадратное

 

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает μA(х) ϵ [0, 1], формируя векторную функцию принад­лежности { μA (х1), μA (х2),…, μA(х9) }.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкрет­ное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «этот че­ловек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение μ лысый (данного лица). (В этом примере можно действо­вать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц.)

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных из­меримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравне­ний. Если бы значения функций принадлежности были нам из­вестны, например, μA(х­i) = ωi, i = 1, 2,..., n,то попарные срав­нения можно представить матрицей отношений А = { aij}, где aij = ωi/ωj (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А, при этом пред­полагается, что диагональные элементы равны 1, а для элемен­тов симметричных относительно диагонали aij= 1/aij, т.е. если один элемент оценивается в α раз сильнее, чем другой, то этот по­следний должен быть в 1/α раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора ω, удовлетворяющего уравнению вида Aw = λmax w, где λmax— наибольшее собствен­ное значение матрицы А. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является поло­жительным.

Можно отметить еще два подхода:

· использование типовых форм кривых для задания функций принадлежности (в форме (L-R)-Типа – см. ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента;

· использование относительных частот по данным эксперимента в качестве значений принадлежности.

Операции над нечеткими множествами

Логические операции

Включение. Пусть А и В — нечеткие множества на универсальном множестве Е. Говорят, что А содержится в В, если

Обозначение: А ⊂ В.

Иногда используют термин доминирование, т.е. в случае, ко­гда А ⊂ В, говорят, что В доминирует А.

Равенство. А и В равны, если

Обозначение: А = В.

Дополнение. Пусть М = [0, 1], А и В – нечеткие множества, заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если

Обозначение:

Очевидно, что (дополнение определено для М = [0, 1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного М).

Пересечение. А ⋂ В — наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В:

Объединение.A ∪ В — наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

Разность. с функцией принадлежности:

Дизъюнктивная сумма

А ⊕ В = (A - B) ∪ (B - A) = (A ⋂ ̅B) ∪ (̅A ⋂ B)

с функцией принадлежности:

Примеры. Пусть

Здесь:

1) А ⊂ В, т. е. А содержится в B или B доминирует А С несравнимо ни с A, ни с В, т.е. пары { А, С } и { А, С } — пары недоминируемых нечетких множеств.

2) A ≠ B ≠ C

3) ̅A = 0,6/ x ₁ + 0,8/ x ₂ + 1/ x ₃ + 0/ x ₄; ̅B = 0,3/ x ₁ + 0,1/ x ₂ + 0,9/ x ₃ +0/ x ₄.

4) А ⋂ В = 0,4/ x ₁+ 0,2/ x ₂+ 0/ x ₃+ 1 / х ₄.

5) A ∪ В = 0,7/x₁ + 0,9/ x ₂+ 0,1/ x ₃+ 1/ x ₄.

6) А - В = А ⋂ ̅В = 0,3/ x ₁+ 0,l/ x ₂+ 0/ x ₃+ 0/ x ₄;

В- А= ̅А ⋂ В= 0,6/ x ₁+ 0,8/ x ₂+ 0,l/ x ₃+ 0/ x ₄.

7) А ⊕ В = 0,6/ x ₁+ 0,8/ x ₂+ 0,1/ x ₃+ 0/ x ₄.

Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами. Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоуголь­ную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения μ_А(х), на оси абсцисс в произвольном порядке распо­ложены элементы Е (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если Е по своей природе упо­рядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает нагляд­ными простые логические операции над нечеткими множествами (см. рис. 1.3).

Рис. 1.3. Графическая интерпретация логических операций:
α — нечеткое множество А; б — нечеткое множество ̅А, в — А ⋂ ̅А; г — A ∪ ̅А

На рис. 1.3α заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству А и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в А. На рис. 1.3 б, в, г даны ̅ А, А ⋂ ̅A,A U ̅А.

Свойства операций ∪ и ⋂

Пусть А, В, С — нечеткие множества, тогда выполняются сле­дующие свойства:

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем

случае:

A ⋂ ̅A ≠ ∅, A ∪ ̅A ≠ E

(что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими мно­жествами основаны на использовании операций maxи min. В те­ории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объеди­нения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысло­вые оттенки соответствующих им связок «и», «или», «не».

Треугольные нормы и конормы

Один из подходов к операторам пересечения и объединения за­ключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.

Треугольной нормой(t-нормой) называется бинарная операция (двуместная действительная функция)

удовлетворяющая следующим условиям:

1. Ограниченность: .

2. Монотонность: .

3. Коммутативность: .

4. Ассоциативность: .

 

Примеры треугольных норм

min(μ_A,μ_B)

произведение μ_A·μ_B

max(0, μ_A+μ_B - 1).

Треугольной конормой (сокращенно -конормой) называется двухместная действительная функция

,

удовлетворяющая следующим условиям:

1. Ограниченность: .

2. Монотонность: .

3. Коммутативность: .

4. Ассоциативность: .

Треугольная конорма является архимедовой, если она непрерывна
и для любого нечеткого множества выполнено неравенство .

Она называется строгой, если функция строго убывает по обоим аргументам.

Примеры t-конорм

max(μ_A,μ_B)

μ_A+ μ_B- μ_A· μ_B

min(1, μ_A+μ_B).

Примерами треугольных конорм являются следующие операторы:

Треугольная норма T и треугольная конорма S называются дополнительными бинарными операциями, если

T (a, b) + S (1 − a,1 − b) = 1

для .

Наибольшей популярностью в теории Заде пользуются три пары дополнительных треугольных норм и конорм.

1) Пересечение и объединение по Заде:

T_Z (a, b) = min{ a, b }, S_Z (a, b) = max{ a, b }.

2) Пересечение и объединение по Лукасевичу:

.

3) Вероятностное пересечение и объединение:

Операторы дополнения

В теории нечетких множеств оператор дополнения не является единственным.

Помимо общеизвестного

,

существует целый набор операторов дополнения нечеткого множества.

Пусть задано некоторое отображение

.

Это отображение будет называться оператором отрицания в теории нечетких множеств, если выполняются следующие условия:

(1)

(2)

Если кроме этого выполняются условия:

(3) — строго убывающая функция

(4) — непрерывная функция

то она называется строгим отрицанием.

Функция называется сильным отрицанием или инволюцией, если наряду с условиями (1) и (2) для нее справедливо:

(5) .

Приведем примеры функции отрицания:

Классическое отрицание: .

Квадратичное отрицание: .

Отрицание Сугено: .

Дополнение порогового типа: .

Будем называть любое значение , для которого , равновесной точкой. Для любого непрерывного отрицания существует единственная равновесная точка.