Регресійні моделі з однією змінною

Ці моделі встановлюють лінійну функціональну залежність відгуку у лише від однієї незалежної змінної (одного аргументу) х у вигляді:

= а₀+а₁х, (3.1)

 

де a₀ - початкове значення у при х = 0; - коефіцієнт впливу варіацій х на варіації у, який частіше називається коефіцієнтом парної лінійної регресії.

Відмітимо, що розрахункові значення у за тих же самих значень х_і, де х_і - експериментально отримані значення незалежної змінної, тобто функція , частіше не співпадають з експериментально отриманими значеннями при тих же значеннях х_і. Але можна обрати такі значення a₀ та а₁, щоб задовольнити умови МНК, що були викладені в попередньому розділі:

 

(3.2)

 

Для забезпечення цієї умови, очевидно, необхідно забезпечити виконання наступних двох умов:

 

(3.3)

Виконаємо ці умови:

 

 

що дає наступні дві умови для визначення а₀ та а₁:

 

 

або у розгорнутій формі:

 

 

Вирішення цієї системи рівнянь відносно а₀ та a₁ дає наступні вирази для розрахунку оптимальних значень коефіцієнтів моделі:

 

(3.4)

 

Таким чином, знаючи експериментально отриману множину величин

х_і (і є N) та у_і (і є N), можна розрахувати за допомогою (3.4) чисел значення параметрів лінійної кореляційної моделі а₀ та а₁ що забезпечать мінімальну дисперсію похибки моделі , викликану неврахований факторами, що також збурюють систему.

Потрібно не забувати, що отримана таким чином модель (3.1) забезпечує мінімум лише в області значень х_тin ≤ х ≤ х_тaх. Поза цим інтервалом (тобто при екстраполяції моделі поза даним інтервалом) досить можливо, що мінімум не буде забезпечений в області значень х, що екстраполюється.

Якщо помножити в першому рівнянні системи (3.4) значення а₁ на (-1) і розділити в цьому виразі чисельник і знаменник на N, то можна отримати іншу форму запису системи рівнянь (3.4), більш зручну для практичних розрахунків:

 

(3.5)

 

де - середні значення по

При використанні формули (3.5) експериментальні дані х_і та у_і можуть бути зведені до таблиці 3.1 по якій розраховуються проміжні величини, що входять до формули (3.5)

 

Таблиця 3.1 Дані для розрахунку коефіцієнтів лінійної регресії

	yi	xi	xi^2	xi yi
	y1   y2 … yN	x1   x1 … xN	x1^2 x2^2 ... xN^2	x1 y1   x1 y2 … xN yN	…	…
Всього
Сер.знач

Після заповнення першої та другої колонок експериментально отриманими даними х_i та у_i проводять розрахунки значень двох наступних колонок. Потім сумують отримані значення по кожній колонці в рядку "Всього", після чого розраховують середні значення та шляхом ділення відповідних сум на число експериментальних значень. Отримані дані використовуємо в (3.5) для розрахунку значень а₀ та а₁.

Після розрахунку значень а₀ та а₁ визначають значення з використанням формули (3.1) для значень x_i таблиці 3.1. Отримані значення заносяться в таблицю 3.1 (5-й стовпчик). Потім розраховуються значення квадратів відхилень від у_і для кожного рядка таблиці 3.1, отримані значення додаються в рядок "Всього". Після Ділення отриманої суми на N на перетині 6-го стовпчика і рядка "Всього" отримаємо значення мінімально можливої дисперсії похибки моделі лінійної регресії, що найбільш точно описує взаємозв'язок експериментальних даних у_i та х_i (і = ).

Ступінь впливу незалежного фактору х, що є застосованим в моделі, на змінну у оцінюється при цьому коефіцієнтом детермінації за формулою (2.18), де:

 

(3.6)

 

є загальною дисперсією фактору у. Значення ж залишкової дисперсій D визначається як це було показано в таблиці 3.1.

Величина коефіцієнту кореляції R при цьому може бути визначено за допомогою (2.19). Відмітимо, що для лінійної регресії значення R характеризує, поряд зі ступенем зв'язку у та х, також близькість залежності у(х) до лінійної форми (3.1). Вважається, що при |R|≥0,7 лінійна форма є досить адекватною для оцінки форми зв'язку.

Разом з коефіцієнтом кореляції R, який характеризує близькість до лінійної залежності, у лінійних моделях, як і в загальному випадку застосовується також коефіцієнт детермінації К_D = R², який показує, яку частку до варіацій змінної у вносить незалежний аргумент моделі х.

Наприклад, при R =0,8; К_D = 0,64, що означає, що 64% змінності у викликано впливом х та інші 36% викликані іншими незалежними факторами, не врахованими в моделі.

Відмітимо також можливість розрахунку коефіцієнту кореляції Rбезпосередньо по отриманим експериментальним даним у_i та х_i (і = ). Це буває необхідним, якщо не ставиться задача визначення саме значень коефіцієнтів моделі а₀ та a₁ а лише перевіряється гіпотеза про лінійності зв'язку у та х. В цьому випадку величина R розраховується безпосередньо по експериментальним даним y_і та х_і за допомогою формули:

 

(3.7)

Серед чисельних комп'ютерних програм ЕОМ, призначених вивчення парної лінійної регресії, можна рекомендувати програму, працює у середовищі "MATHCAD-2000, і яку наведено нижче.