Теорема сложения для совместных событий.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их совместного появления.

Доказательство:

 

 

4.

Формула полной вероятности.

Следствием теоремы сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности.

Теорема:

Пусть событие A может произойти с одним из событий , образующих полную группу событий, называемых гипотезами. Тогда вероятность события A равна сумме произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события A при этой гипотезе.

Доказательство:

События образуют полную группу событий, следовательно, событие A может появиться с одним из событий .

;

Поскольку события несовместны то и события также будут несовместны и тогда, применяя теорему сложения, можно записать:

5.

Схема Бернулли.

Пусть производится серия из n испытаний, причем в каждом из испытаний событие A может появиться с постоянной вероятностью P и не появиться с вероятностью . В этом случае говорят, что у нас действует схема Бернулли.

Теорема: формула Бернулли.

Вероятность того, что в серии из n опытов событие A появится k раз, вычисляется по формуле

Вывод формулы Бернулли.

Вероятность одного сложного события состоит в том, что в серии n из испытаний событие A появится, раз и не появится n-k равно . Таких сложных несовместных событий будет столько, сколько можно сделать сочетаний из n элементов по k равно . Отсюда вытекает формула.

Пример:

Пусть проводится серия из 4 испытаний. Причем будем рассматривать событие, когда A появляется три раза. Таких событий будет: .

Формулой Бернулли удобно пользоваться в тех случаях, когда число испытаний небольшое. Если же число испытаний большое, то в этих случаях пользуются формулами Лапласа и Пуассона.

6.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Если вероятность P в схеме Бернулли не близка к 0 и единице, а число испытаний большое, то тогда вероятность того, что в серии из n испытаний событие появиться K раз вычисляется по формуле:

- дифференциальная функция Лапласа.

Для данной функции имеются специальные таблицы значений.

Интегральная теорема Лапласа.

Пусть в схеме Бернулли вероятность P отлична от 0 и не близка к 1, а число испытаний , то тогда вероятность события состоящего в том, что событие A появится не менее, раз и не более, раз вычисляется по формуле:

где

 

Функция Ф(X) интегральная функция Лапласа. Для нее имеются специальные таблицы значений.

 

 

Формула Пуассона.

В случае если в схеме Бернулли число испытаний большое, а вероятность стремиться к 0, то в этом случае пользуются формулой Пуассона:

где .

7.