Тема III. Элементы интегрального исчисления

 

[1], гл. XІІІ, §§ 1–5; гл. XІV, §§ 1–3, 5, 9.

[2], ч. І, гл. VІІІ, § 1; гл. ІX, §§ 1–3.

[3], гл. X, §§ 1–9, 12; гл. XІІ, §§ 1, 5, 8.

[6], задачи: 1264, 1266, 1274, 1285, 1290, 1298, 1299, 1301-1306, 1625, 1635,1653, 1664.

 

Таблица основных неопределенных интегралов

 

(18)

(19) и т.д.

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

 

(29)

(30) , где А — любое действительное число.

 

31-40. Задачи контрольной работы. Найти указанные неопределённые интегралы.

 

41. а) б) в)

42. а) б) в)

43. а) б) в)

44. а) б) в)

45. а) б) в)

46. а) б) в)

47. а) б) в)

48. а) б) в)

49. а) б) в)

50. а) б) в)

Решение типовых задач

Задача. Найти неопределенные интегралы:

а) б) в)

 

Решение. а) Предварительно преобразуем подынтегральную функцию и затем применим свойства неопределённого интеграла и формулу (20) Таблицы интегралов:

=

=

=

 

б) воспользуемся подстановкой , тогда , откуда . Таким образом,

= .

При вычислении неопределённого интеграла, полученного в результате замены переменной, мы пользовались формулой (21) Таблицы интегралов.

 

в) В неопределённом интеграле выполним замену , чтобы привести его к табличному виду. Тогда . Получим:

При вычислении неопределённого интеграла была использована формула (20) Таблицы интегралов.

 

41-50. Задачи контрольной работы. Вычислить с помощью определённого интеграла площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой. Сделать чертеж и заштриховать искомую фигуру.

 

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

 

Решение типовой задачи

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

 

Решение. Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой , снизу — непрерывной кривой , слева — прямой , справа — прямой , вычисляется по формуле:

. (***)

Найдем точки пересечения заданных параболы и прямой. Составим и решим систему их уравнений:

.

Подставив в первое уравнение системы вместо у сумму х + 3, получим:

, , ,

, .

Отсюда, Тогда Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках и .

Из формулы (***) следует, что площадь фигуры равна

= =

=

 

Следовательно, искомая площадь равна 1,5 кв. ед. Рассмотренная фигура изображена на рисунке.

 

Рис. 3

Тема IV. Дифференциальные уравнения

 

[1], гл. XІІ, §§ 1,3;

[2], ч. ІІ, гл. ІV, § 1;

[3], гл. XІІІ, §§ 1–5;

[6], задачи: 2057, 2061, 2064, 2065, 2067, 2080, 2083, 2085;

[8], глава IV.

 

51-60. Задачи контрольной работы. Требуется составить дифференциальное уравнение динамики развития некоторого биологического вида и найти решение этого уравнения.

Состояние популяции (в простейшем понимании – стада) можно охарактеризовать массой m этой популяции (т.е. весом всего стада), причем масса m является функцией времени . Считая, что скорость прироста биомассы пропорциональна биомассе популяции с коэффициентом , и что известна начальная биомасса (при ), найти величину биомассы в момент

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

Решение типовой задачи

 

Задача. Найти значение биомассы в момент Т=12, если в начальной момент (при t=0) значение биомассы и

 

Решение. Составим дифференциальное уравнение, описывающее динамику развития популяции. Скорость изменения биомассы характеризуется производной (при — это скорость развития, при — скорость вымирания). По условию задачи или

Это уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные m и t:

Отсюда после почленного интегрирования получаем:

, т.е. .

(в данном случае произвольную постоянную удобно взять в виде . Из последнего равенства следует формула для общего решения дифференциального уравнения:

.

Для определения значения произвольной постоянной С полагаем В результате получаем:

Таким образом, из общего решения дифференциального уравнения приходим к выражению

Положим теперь в этом равенстве Тогда

Следовательно, в момент (ед.) значение биомассы будет составлять 50 (ед.).