Взаимное расположение прямой и плоскости.

Ax + By + Cz = D

(X-X_o)/a = (Y-Y_o)/b = (Z-Z_o)/c

ν

α

 

(ν, α) = 0 [ //на или лежит]

(ν, α) ≠ 0 [пересекает в 1ой точке]

(ν, α) = 0 & Ax_o + By_o + Cz_o = D [прямая лежит в пл-ти]

1.Пересекает

от канонического ур-я прямой переходим в парам-е:

A(x_o + ta) + B(y_o + tb) + C(z_o + tc) = D

находим to и подставим в кон-ое ур-е прямой:

t(aA + bB + cC) = F

 

Уравнение прямой в пространстве

α P₀ OP = OP₀ + tα – УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ВЕКТОРНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

OP (X, Y, Z), OP0(X0, Y0, Z0), α(a1, a2, a3)

Р X = X0 + ta1, Y = Y0 + ta2, Z= Z0 + ta3 - В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

О X- X0/a1 = Y-Y0/ a2 = Z-Z0/ a3 – УРАВНЕНИЕ В КАКОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Y-Y0/ a3 = Z-Z0/ a3, X-X0/ a1 = Z – Z₀ /a3 – УСЛОВИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ, КОТОРЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ОСЯМ OX И OY

Расстояние от точки до прямой в пр-ве.

Р через Q проводим пл-ть перпендикулярную прямой

α

Q

О

P α d |[PQ, α]| = |PQ|*|α|*sinα^PQ расстояние от Q до прямой

Q

 

O

1ый способ:

Р (1,2,3) α (1,0,-1) Q (3,-2,1)

Проведем через Q пл-ть, ортогональной α^→

(x-3)*1 – (z-1) = 0

Найти точки пер-ия пл-ти и прямой

Х = 1 + t y = 2 z = 3 – t // P + αt

1 + t – 3 – (3 – t – 1) = 0

2t – 4 = 0

t = 2

P₁ (3, 2, 1) точка пер-ия пл-ти и прямой

|QP₁| - искомый

d = √0 + 16 + 0 = 4

2ой способ:

PQ^→ (2, -4, -2)

 

E₁ E₂ E₃

[PQ^→, α] = 2 -4 -2 = E₁ * 4 – E₂ * 0 + E₃ * 4

1 0 -1

|[PQ^→, α]| = 4√2

|α| = √2

d = 4√2 / √2 = 4

Уравнение плоскости в пространстве

По определению уравнение плоскости в пространстве задаётся точкой P и парой неколлинеарных векторов α||плоскости и β || плоскости.

^--PP₀=Uα+Ʋβ (1) P(x,y,z)

^--P₀P=^--OP-^--OP₀ α(a₁,a₂,a₃)

^--OP=^--OP₀+Uα+Ʋβ (1^|) β(b₁,b₂,b₃)

 

 

x=x₀+Ua₁+Ʋb₁ Уравнение плоскости в параметрической форме

y=y₀+Ua₂+Ʋb₂ (2)

z=z₀+Ua₃+Ʋb₃

(^--P₀P,α,β)=0

x-x₀ y-y₀ z-z₀ Уравнение плоскости проходящей через точку ||-но 2-м

a₁ a₂ a₃ =0 (3) векторам, если векторы коллинеарны, то 0=0.

b₁ b₂ b₃

Расстояние от точки до плоскости

Q Предположим, что |j| = 1, (OP, j) = |OP|* cos (j ^ OP) = d;

j d – расстояние от точки до прямой, d>=0

пусть OP (x, y), j(cost, sint) тогда x*cost + ysint – d=0 (2)

P Ax+By+C=0, где Ax+By+C / √A² + B² = 0 и C/ √ A² + B² >=0

(OQ, j) = |OQ|* cos (j^OQ), где (j^OQ) – d = расстояние до прямой.

Если в уравнение (2) подставить координаты произвольной точки плоскости то модуль полученного числа – расстояние от точки до прямой.

Уравнение плоскости в нормальной форме

Для плоскости все рассуждения аналогичны предыдущим

Ax + By + Cz + D/ √A² + B² + C² = 0 (3)

Ax0 + By0 + Cz0 - D/ √A² + B² + C² = расстояние от точки до плоскости

 

Уравнение прямой на плоскости

Прямая на плоскости определяется любой свободной точкой и вектором ^– α параллельным этой прямой.

т.P- опорная точка

вектор ^–α – направленный вектор.

^--OP -^--OX=^--tα //t-любое ≠0. ^—XP||^--α

^--OX=^--OP+tα (2)

Ур-ие (2) – уравнение прямой в параметрической форме (в векторной форме)

^--OX=<x,y> x=x₀+ta (3) Основное уравнение прямой в координатах (параметричекое)

^--OP=<x₀,y₀> y=y₀+tb

α=<a,b>

Исключим параметр t из уравнения (3)=>(x-x₀)/a=(y-y₀)/b (4) каноническое уравнение

В уравнении (4), если в знаменателе есть 0 то из уравнения (3)=>, что и в числителе должен быть 0

Пусть выбрана система координат рассмотрим множество точек таких, что координаты которых удовлетворят уравнению Ах+Ву=С (5) условие для уравнения (5) А²+В²>0

Если (5) рассматривать как неоднородную систему, то общее решение системы (5) имеет вид:

Х=Х₀+с_i у_i X₀-Опорная точка у-направляющий вектор

То похоже на уравнение (2), которая обозначает прямую => уравнение (5) определяет прямую, называют уравнением прямой в общем виде.