Отношения между случайными событиями

Пусть для данного опыта определено универсальное множество – пространство элементарных событий, т.е. множество, содержащее все элементарные события для данного опыта в качестве своих элементов.

Тогда любое другое событие будет включать те или иные из этих элементов, т.е. будет являться подмножеством пространства элементарных событий .

Пусть в результате осуществления опыта произошло элементарное событие . Если , то говорят, что событие Α произошло (в варианте элементарного события ), если, напротив, , то говорят, что произошло противоположное событие . Событие, противоположное по отношению к , обозначается (читается «не A»). Это событие называют ещё отрицанием события A.

Говорят, что событие A влечёт за собой событие B, если при наступлении события A событие B обязательно осуществляется. Записывают это отношение между событиями так: . Если и , то события A и B называют эквивалентными или равносильными, равными. Записывают это отношение между событиями так: . Заметим, что по физическому содержанию события A и B могут быть различными, их равенство означает лишь то, что в них входят одинаковые элементарные события, они состоят из одинаковых наборов элементарных событий.

События и называются несовместными, если у них нет общих элементарных событий, т.е. их пересечение или в другой записи – произведение является пустым множеством: . Такие события не могут одновременно происходить, одновременно осуществляться. В противном случае события и называются совместными, у них есть те или иные общие элементарные события, но они не обязаны полностью совпадать. Совместные события и могут совпадать частично, по тем или иным общим элементарным событиям.

Набор событий называется полной группой событий, если по результатам проведения опыта какое-то из них обязательно осуществится. Иначе говоря, в полной группе событий перечислены все возможные варианты результатов соответствующего опыта. Естественно, что для каждого опыта полная группа событий будет своя. Объединение или сумма событий из полной группы всегда должна давать универсальное множество или всё пространство элементарных событий: .

В некоторых задачах теории вероятностей важно рассматривать полную группу попарно несовместных событий, т.е. таких, из которых хотя бы одно обязательно осуществится по результатам опыта, но осуществится может только одно, а не два или более одновременно. Поэтому полная группа несовместных событий определяется, как группа событий событий , для которой одновременно: и для любых разных значений индексов , т.е. их пересечение пусто, они не могут осуществляться одновременно.

Пример. В опыте с подбрасыванием монетки элементарных событий всего два – «монетка упала орлом вверх» и «монетка упала решкой вверх». Эти два события образуют полную группу, потому что какое-нибудь из них в результате подбрасывания монетки обязательно осуществится. Вариант, когда монетка станет на ребро при этом, конечно, не рассматривается.

Пример более сложного пространства элементарных событий. Пусть в опыте два стрелка делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. В пространстве элементарных событий будет всего четыре элемента, четыре события:

– мишень не поражена, ни первый, ни второй стрелок в неё не попали;

– мишень поражена только первым стрелком, второй стрелок в неё не попал;

– мишень поражена только вторым стрелком, первый стрелок в неё не попал;

– мишень поражена и первым, и вторым стрелком, оба попали в неё.

Используя эти элементарные события, можно описать и все другие, которые могут осуществиться в этом опыте. Например, событием может быть комбинация элементарных событий и , т.е. такая ситуация, когда либо мишень вообще не поражена, либо она поражена двумя стрелками. Обозначим это событие , в этой записи просто перечислены оба элемента этого множества. Другим примером составного события может быть поражение мишени одним стрелком, т.е. событие, включающее элементарные события и . Обозначим это событие . По набору элементарных событий видно, что и являются несовместными событиями. Можно рассмотреть ещё событие – поражение мишени первым или вторым стрелком. Это событие можно обозначить . Этому событию будет противоположно отсутствие поражения мишени, содержащему только первое элементарное событие: . При этом события и составляют полную группу, т.к. . Но и события и тоже составляют полную группу, потому что тоже . Такие отношения между событиями отражаются на значениях их вероятностей.