В качестве истинного значения при многократных измерениях параметра выступает

среднее арифметическое значение х

(4.1)

Величина х, полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к х_и. Для оценки ее возможных откло­нений от х_и определяют опытное среднеквадратическое откло­нение (СКО)

(4.2)

_

Для оценки рассеяния отдельных результатов х_i. измерения от­носительно среднего x определяют СКО:

(4.3)

Примечание. Применение формул (4.3) правомерно при усло­вии постоянства измеряемой величины в процессе измерения. Если при измерении величина изменяется, как при измерении темпе­ратуры остывающего металла или измерении потенциала провод­ника через равные отрезки длины, то в формулах (4.3) в качестве x следует брать какую-то постоянную величину, например нача­ло отсчета.

Формулы (4.2) и (4.3)соответствуют центральной предельной теореме теории вероятностей, согласно которой

_

σ_ =σ /√n (4.4)

x x

Среднее арифметическое из ряда измерений всегда имеет мень­шую погрешность, чем погрешность каждого определенного из­мерения. Это отражает и формула (4.4), определяющая фундамен­тальный закон теории погрешностей. Из него следует, что если необходимо повысить точность результата (при исключенной си­стематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нужно увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз и т. д.

зависимости от характера проявления, причин возникнове­ния и возможностей устранения различают систематическую и случайную составляющие погрешности измерений, а также гру­бые погрешности (промахи).

Систематическая Δ_с составляющая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра.

_o

Случайная Δ составляющая изменяется при повторных изме­рениях одного и того же

параметра случайным образом.

Грубые погрешности (промахи ) возникают из-за ошибочных действий оператора, неисправности СИ или резких изменений усло­вий измерений. Как правило, грубые погрешности выявляются в результате обработки результатов измерений с помощью специ­альных критериев.

Случайная и систематическая составляющие погрешности из­мерения проявляются

_о

одновременно, так что общая погрешность при их независимости Δ= Δ_с +Δ или через

_{___________}

СКО σ_д =√σ²_Δс +σ_о² .

^Δ

Значение случайной погрешности заранее неизвестно, оно воз­никает из-за множества не уточненных факторов.

Случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов из­мерений. Для этого должны быть известны вероятностные и стати­стические характеристики (закон распределения, закон математи­ческого ожидания, СКО, доверительная вероятность и довери­тельный интервал). Часто для предварительной оценки закона

распределения параметра используют относительную величину СКО — коэффициент вариации:

(4.5)

 

Если Р означает вероятность а того, что х результата измерения отличается от истинного на

_о

величину не более чем Δ, т. е.

(4.6)

то в этом случае Р — доверительная вероятность, а интервал от

_ о _ о

х - Δ до х + Δ — доверительный интервал.

Таким образом, для характеристики случайной погрешности надо обязательно задать два числа — величину самой погрешности (или доверительный интервал) и доверительную вероятность.

Если распределение случайной погрешности подчиняется нор­мальному закону, то вместо значения Δ указывается σ _х. Одновременно это уже определяет и доверительную вероятность

_{o o o}

Р. Например: при Δ = 0^ значение Р= 0,68; при Δ = 2о-_гзначениеP=0,95; при Δ = 3ст значение

Р =0,99.

Доверительная вероятность по формуле (6) характеризует вероятность того, что отдельное

_o

измерение х не будет отклонять­ся от истинного значения более чем на Δ. Безусловно, важнее

знать отклонение от истинного значения среднего арифметичес­кого ряда измерений.

При рассмотрении оценки СКО по "необходимому" (достаточно большому) числу измеренийσ² называется генеральной дисперсией. При малом числе измерений (менее 10— 20) получают выборочную дисперсию σ². Причем

_ _

σ² →σ²лишь при п→∞. То есть если σ² =σ², то надежность оценки уменьшается с уменьшением п, а значения доверительной вероятности Р завышаются.

Поэтому при ограниченном числе измерений п вводится коэффи­циент Стьюдента t_p, определяемый по специальным таблицам в за­висимости от числа измерений и принятой доверительной ве­роятности Р.

Тогда средний результат измерений находится с заданной вероятностью Р в интервале

_{_}

J = х ± t σ_x / √ п и отличается от действительного значения на относительную величину

_{_}

ε= Δ/σ_х.=Δ√n/σ_х.

Для уменьшения случайной погрешности есть два пути: повы­шение точности измерений (уменьшение σ_х ) и увеличение числа измерений п с целью использования соотношения (4.4).Считая, что все возможности совершенствования техники измерений использо­ваны, рассмотрим второй путь. При этом отметим, что уменьшать случайную составляющую погрешности целесообразно лишь до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью опре­деляться систематической составляющей Δ. Если систематическая погрешность определяется классом точности СИ Δ_си (или γ_си), то необходимо, чтобы доверительный интервал ±t_pσ_x /√n был суще­ственно меньше Δ_с.

Обычно принимают от Δ < Δ/2 до Δ < Δ/2 при Р = 0,95.

В случае невозможности выполнить эти соотношения необходимо коренным образом изменить методику измерения. Для сравнения случайных по­грешностей с различными законами распределения использование показателей, сводящих плотность распределения к одному или не­скольким числам, обязательно. В качестве таких чисел и выступают СКО, доверительный интервал и доверительная вероятность. Надежность самого СКО характеризуется величиной

 

σ_σ =σ/√2n

 

Наиболее вероятна погрешность Δ_в отдельного измерения определяется по формуле

Анализ этой формулы показывает, что с увеличением п вели­чина Д_в быстро уменьшается лишь до и = 5,...,10. Следовательно, увеличение числа измерений на одном режиме свыше 5...10 неце­лесообразно, что совпадает с условием получения надежных зна­чений σ_σ.

Число измерений можно выбрать из данных таблицы или по одной из формул:

где n_от — число отбрасываемых экспериментальных результатов. С учетом коэффициентов Стьюдента можно оценить относительную погрешность отдельного измерения как δ_i= t_pσ_x / x среднего зна­чения δ- =t_pσ_x / x√n.

Необходимое число измерений при нормальном законе распреде­ления случайной величины (при Р=0,95)

Как правило, систематические погрешности могут быть обнаружены и исключены. Однако в реальных условиях пол­ностью исключить систематическую составляющую погрешности невозможно. Всегда остаются какие-то не исключённые остатки, ко­торые и нужно учитывать, чтобы оценить их границы. Это и будет систематическая погрешность измерения. То есть, в принципе, сис­тематическая погрешность тоже случайна, и указанное деление обус­ловлено лишь установившимися традициями обработки и представ­ления результатов измерения, и Оставшаяся необнаруженной систематическая составляющая опаснее случайной: если случайная составляющая вызывает вари­ацию (разброс) результатов, то систематическая — устойчиво их искажает (смещает). В любом случае отсутствие или незначитель­ность (с целью пренебрежения) систематической погрешности нужно доказать.

Методика выявления характера погрешности заключается в следующем:

1.Из двух рядов n₁ и n₂ независимых измерений находят средние арифметические x₁ и x₂.

2. Определяют значения

_{___________}

3. Вычисляют σ=S√1/n₁+1/n₂.

4. Вероятность того, что разность |x₁ -x₂|≥ ε является случайной величиной, определяется равенством Р(|х₁ -х₂|≥)=1-Р_tрn, где

t_p=|x₁ -x₂|/σ,

 

Величина Р определяется по таблице Стьюдента.

Если полученная вероятность Р ≥0,95, то разность |х₁ -х₂| носит систематический характер.

В отличие от случайной погрешности, выявленной в целом вне зависимости от ее источников, систематическая погрешность рас­сматривается по составляющим в зависимости от источников ее воз­никновения, причем различают методическую, инструментальную и субъективную составляющие погрешности.

Субъективные систематические погрешности связаны с инди­видуальными особенностями оператора. Как правило, эта погреш­ность возникает из-за ошибок в отсчете показаний (примерно 0,1 деления шкалы) и неопытности оператора. В основном же систе­матические погрешности возникают из-за методической и инст­рументальной составляющих.

Методическая составляющая погрешности обусловлена несо­вершенством метода измерения, приемами использования СИ, некорректностью расчетных формул и округления результатов.

Инструментальная составляющая возникает из-за собствен­ной погрешности СИ, определяемой классом точности, влия­нием СИ на результат и ограниченной разрешающей способ­ности СИ.

Целесообразность разделения систематической погрешности на методическую и инструментальную составляющие определяется

следующими моментами:

• для повышения точности измерений можно выделить лими­тирующие факторы, а следовательно, принять решение об усо­вершенствовании методики или выборе более точных СИ;

• появляется возможность определить составляющую общей погрешности, увеличивающейся со временем или под влиянием внешних факторов, а следовательно, целенаправленно осуществ­лять периодические поверки и аттестации;

• инструментальная составляющая может быть оценена до раз­работки методики, а потенциальные точностные возможности выбранного метода определит только методическая составляю­щая.

То есть все виды составляющих погрешности нужно анализи­ровать и выявлять в отдельности, а затем суммировать их в зави­симости от характера, что является основной задачей при разра­ботке и аттестации методик выполнения измерений.

В ряде случаев систематическая погрешность может быть исключе­на за счет устранения источников погрешности до начала измерений (профилактика погрешности), а в процессе измерений — путем внесе­ния известных поправок в результаты измерений.

Профилактика погрешности — наиболее рациональный способ ее снижения и заключается в устранении влияния, например, тем­пературы (термостатированием и термоизоляцией), магнитных по­лей (магнитными экранами), вибраций и т. п. Сюда же относятся регулировка, ремонт и поверка СИ. Исключение постоянных систематических погрешностей в про­цессе измерений осуществляют методом сравнения (замещения, противопоставления), компенсации по знаку (предусматривают два наблюдения, чтобы в результат каждого измерения систематичес­кая погрешность входила с разным знаком), а исключение пере­менных и прогрессирующих — способами симметричных наблюде­ний или наблюдением четное число раз через полупериоды. То есть периодическая погрешность исключается, если взять среднее двух наблюдений, произведенных одно за другим через интер­вал, равный полупериоду независимой переменной φ, определяю­щей значение периодической погрешности. То же будет и для не­скольких пар подобного рода наблюдений (например, погрешность от эксцентриситета в угломерных СИ).

 

Качество измерений

 

Под качеством измерений понимают совокупность свойств, обусловливающих получение результатов с требуемыми точностными характеристиками, в необходимом виде и в уста­новленные сроки. Качество измерений характеризуется таки­ми показателями, как точность, правильность и достоверность. Эти показатели должны определяться по оценкам, к которым предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Истинное значение измеряемой величины отличается от сред­него значения на величину си с тематической погрешности Δ_с, т. е.

x=x- Δ_{с _}

Если система т ическая составляющая исключена, то х = x. Од­нако из-за ограниченного числа наблюдений х точно определить также невозможно. Можно лишь оценить это значение, указать г раницы интервала, в котором оно находится, с определенной вероятностью.

Оценку х числовой характеристики закона распределения х, изображаемую точкой на числовой оси, называют точечной оцен­кой. В отличие от числовых характеристик оценки являются слу­чайными величинами. Причем их значение зависит от числа на­блюдений п.

Состоятельной называют оценку, которая сводится по вероят­ности к оцениваемой величине, т. е. х → х при п →∞.

Несмещенной является оценка, математическое ожидание ко­торой равно оцениваемой величине, т. е. х = х.

Эффективной называют такую оценку, которая имеет наимень­шую дисперсию σ²_х = min.

Перечисленным требованиям удовлетворяет среднее арифме­тическое х результатов п наблюдений.

Таким образом, результат отдельного измерения является слу­чайной величиной. Тогда точность измерений — это близость резуль­татов измерений к истинному значению измеряемой величины.

Если систе м атические составляющие погрешности исключе­ны, то точность результата

измерений х характеризуется степе­нью рассеяния его значения, т. е. дисперсией. Как показано выше (см. формулу 4.4), дисперсия среднего арифметического σ²_x в п раз меньше дисперсии отдельного результата наблюдения.

На рис. 9 заштрихованная площадь относится к плотности ве­роятности распределения среднего значения.

Рис. 9

Правильность измерений определяется близостью к нулю сис­тематической погрешности.

Достоверность измерений зависит от степени доверия к резуль­тату и характеризуется вероятностью того, что истинное значение измеряемой величины лежит в указанных окрестностях действи­тельного. Эти вероятности называют доверительными вероятностями, а границы (окрестности) — доверительными границами:

 

 

где S_n(t) — интегральная функция распределения Стьюдента. При увеличении числа наблюдений п распределение Стьюдента быст­ро приближается к нормальному и переходит в него уже при п ≥ 30.

Другими словами, достоверность измерения — это близость к нулю случайной (или не исключенной) систематической погрешности.

Для количественной оценки качества измерений рассмотрим влияние параметров измерений на погрешность их результатов. При планировании измерений и оценке их результатов задаются определенной моделью погрешностей: предполагают наличие тех или иных составляющих погрешности, закон их распределения, кор­реляционные связи и др. На основе таких предположений выбира­ют СИ по точности, необходимый объем выборки объектов изме­рений и метод оценивания результатов измерений.

В этой связи необходимо знать влияние на погрешность ре­зультатов измерений:

• числа наблюдений и доверительной вероятности, с которой должны быть известны вероятностные характеристики результатов;

• степени исправленное™ наблюдений, т. е. наличия НСП на­блюдений;

• вида и формы закона распределения погрешностей.

Когда систематические погрешности результатов наблюдений отсутствуют (Δ_с= 0), доверительная погрешность Δ^__x среднего ариф­метического зависит только от погрешности метода σ_x, числ а на­б л юдений n и доверительной вероятности Р_Δ. Так как случайная

величина t_p =(x-x)/ σ_x - имеет распределение Стьюдента с n - 1 степенями свободы, то, в о спо л ьзовавшись таблицей этого рас­пределения, можно построить зависимость f

Δ_x / σ_x = f (n,P).

Рис. 10

 

Такая зависимость для Р_Δ=0,90; 0,95; 0,99 и n = 2-2Δ_с изображе­на на рис. 10

П о кр и вым можно оценить влияние n и Р_Δ на Δ_x -. Так, на участке кривых при n≤ 5 величина Δ_x / σ _x очень чувствительна к n для любых Р_Δ. Например, при переходе n = 2к n = 3 величина Δ_x / σ_x при Р_Δ = 0,95 уменьшается более чем в 3 раза. С ростом Р_Δ чувствительность Δ_x / σ_x к n возрастает. На участке кривых при n >5 уменьшение Δ_x / σ_x от роста я замедляется настолько, что возни­кает задача определения практически предельного значения числа наблюдений. Действительно, неограниченному уменьшению по­грешностей при увеличении n препятствует не исключенная сис­тематическая погрешность в результатах наблюдений. Дальнейшее увеличение n вызывает незначительное сужение доверительного

интервала Δ_xТак, если систематические погрешности отсутству­ют, то для любого σ_x при n > 7 и Р_Δ = 0,90, при n > 8 и Р_Δ = 0,95 и при n > 10 и Р_Δ = 0,99 величина Δ_x уменьшается всего на 6—8%и менее. Поэтому при эксплуатации и испытаниях ТС рекомендуется, во-первых, использовать доверительную вероятность Р_Δ = 0,9, так как в этом случае для широкого класса симметричных распреде­лений погрешностей Δ_x = 1,6 σ_x и не зависит от вида этих рас­пределений; во-вторых, при Р_д =0,9 использовать выборку наблю­дений объемом не более

n = 5,...,7.

Аналогично ведет себя корреляция результатов измерений па­раметров изделия. Для выборочного СКО среднего арифметичес­кого прямого измерения с многократными наблюдениями при условии, что результаты наблюдений х_i, и x_kкоррелированы, мо­жет быть использована формула

Где rx_ix_k— коэффициент корреляции результатов x_t и x_k, K_xx— поправочный множитель.

Расчеты по формуле показывают сильное влияние кор­реляции результатов наблюдений на σ_x

Таблица.

 

Значение коэффициента корреляции и поправочного множителя

Как видно из табл. величина σ_x может быть существенно занижена. Так, при малой корреляции результатов и n≤ 20 это занижение не превышает 1,7 раза. При сильной корреляции вели­чина σ_x -, характеризующая точность результатов измерений, мо­жет быть занижена в несколько раз.

Заметно влияет на СКО результатов наблюдений σ_x, называ­емое иногда погрешностью метода измерений, степень исправ­ленное™ результатов наблюдений перед обработкой. Действитель­но, если выполняются технич е ские измерения и результат изме­рения получают в виде среднего арифметического значения х, то величину погрешности метода в этом случае (обозначим ее σ_x1 ) определяют п о формуле (4.2). Если измерения той же величины выпол н яют с такой точностью, что вместо x получают истинное значение искомого параметра, т. е. х = х, то погрешность метода в этом случае (обозначим ее σ_x2) получают по аналогичной форму­ле, в которую вместо делителя (n - 1) подставляют де л итель n.

Несущественная на первый взгляд заменах x на х намечает ряд проблем. Оказывается, что наиболее употребляемая на практике характеристика σ_x1 как статистическая оценка имеет большее смешение и менее эффективна, чем характеристика σ_x2.

Так, относительная величина смещенности СКО Δ_с =(М[σ_х]-σ-_x⁾/σ_хоценок σ_x1 и σ_x2 и их эффективность Е_σ как функция числа наблюдений n приведены на рис.11 и показывают следующее:

• характеристики Δ_σ и Е_σявляются монотонными функциями n;:

• обе оценки смещены относительно истинного СКО, получен­ного поданным генеральной совокупности, оценка σ_x1— больше, оценка σ_x2— меньше. При n > 50 смещение обеих оценок составляет примерно 0,5% и с уменьшением n растет, особенно при n < 5. Так, при n = 3, Δ_σ1=7,5%, а Δ_σ2 = 11,5;

• эффективность обеих оценок при n < 50 уменьшается, осо­бенно для оценки σ_x1. Так, при

n = 3 Е_σ1 = 0,93, а Е_σ2= 0,62.

 

Рис. 11

 

Для нормального закона распределения погрешностей эти ошибки в форме СКО определяются по формулам:

При п < 50 величина σ_х определяется с ошибками, достигающими десятков процентов. Кроме того, использование σ_x1вместо σ _х приводит к увеличению ошибок оценки на 10% и более (при п < 3). При п < 10 это завышение незначительно.

Оценка качества результатов измерения при недостаточности априорных данных должна быть ориентирована на самый худший случай. Тогда реальное значение будет всегда лучше и получение необходимого результата гарантируется.

Если закон распределения параметра и погрешности не изве­стен и нет оснований утверждать, что он близок к нормальному, но известно СКО погрешности измерения, то коэффициентами Стьюдента пользоваться нельзя. В этом случае доверительные ин­тервалы строят на основе неравенства Чебышева:

полагая симметричность фактического закона распределения. Тогда Δ=±ɣ_p σ-_x

где ɣ_p коэффициент Чебышева:

 

 

P	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	0.95
ɣ	1.4	1.6	1.8	2.2	3.2	4.4

__

Из формулы следует, что ɣ_p ≤1/√ Р_с, где Р_с— вероят­ность того, что отдельное случайное значение ряда измерений при любом законе распределения не будет отличаться от среднего зна­чения больше чем на половину доверительного интервала Δ.

Если значение СКО также не известно, но известно макси­мальное значение результирующей погрешности (например, по­грешность СИ), то это значение погрешности можно использо­вать в качестве оценки σ_х "сверху": Δ_си= 3σ_х

Следует отметить, что результаты измерений, не обладающие достоверностью, т. е. степенью уверенности в их правильности, не представляют ценности. Например, датчик измерительной схемы может иметь весьма высокие метрологические характеристики, но сияние погрешностей от его установки, внешних условий, мето­дов регистрации и обработки сигналов приведет к большой точной погрешности измерений.

Наряду с такими показателями, как точность, достоверность правильность, качество измерительных операций характеризу­ется также сходимостью и воспроизводимостью результатов. Эти Показатели наиболее распространены при оценке качества испытаний и характеризуют точность испытаний.

Очевидно, что два испытания одного и того же объекта оди­наковым методом не дают идентичных результатов. Объективной мерой их могут служить статистически обоснованные оценки ожи­даемой близости двух или более числа результатов, полученных при строгом соблюдении методики испытаний. В качестве таких статистических оценок согласованности результатов испытаний принимаются сходимость и воспроизводимость.

Сходимость — это близость результатов двух испытаний, по­лученных одним методом, на идентичных установках, в одной лаборатории.

Воспроизводимость отличается от сходимости тем, что оба результата должны быть получены в разных лабораториях. При доверительной вероятности Р = 0,95 сходимость определяется как r=2,77σ_cx, a воспроизводимость — R = 2,77σ_в.

Здесь σ_сх и σ_в — стандартные отклонения результатов испы­таний соответственно в условиях сходимости и воспроизводи­мости

где х, и х₂ -— результаты единичных испытаний в условиях сходи­мости y₁ и y₂ — результаты единичных испытаний в условиях вос­производимости.

Отдельные стандарты задают значения rи R..

Методы обработки результатов измерений.

Многократные прямые равноточные измерения

 

Последовательность обработки результатов измерений вклю­чает следующие этапы:

• исправляют результаты наблюдений исключением (если это возможно) систематической погрешности; _

• вычисляют среднее арифметическое значение х по формуле (4.1);

• вычисляют выборочное СКО σ-_x от значения погрешности измерений по формуле (4.2);

• исключают промахи;

• определяют закон распределения случайной составляющей;

• при заданном значении доверительной вероятности Р и чис­ле измерений п по таблицам определяют коэффициент Стьюдента t_p

• находят границы доверительного интервала для случайной погрешности Δ = ± t_p σ-_x;

• если величина Δ сравнима с абсолютным значением погреш­ности СИ, то величину Δ_си считают не исключенной систематической составляющей и в качестве доверительного интервала вычисляют величину

Если в результате измерительного эксперимента можно четко (выделить составляющие θ НСП, то Δ_Σ определяется по ГОСТ 1.207-76

____________

или, по упрощенной формуле: Δ_Σ =√( t_p σ-_x)²+ θ ²

_

• окончательный результат записывают в виде х = х ± Δ_Σ при вероятности P.

 

Неравноточные измерения

 

При планировании измерительных операций и обработке их ре­зультатов зачастую приходится пользоваться неравноточными из­мерениями (т. е. измерениями одной и той же физической величи­ны, выполненными с различной точностью, разными приборами, в различных условиях, различными исследователями и т. д.).

Для оценки наиболее вероятного значения величины по дан­ным неравноточных измерений вводят понятие "веса " измерения:

g_i = n_i /σ_i²,

где n_i и σ_i² — объем и дисперсия i-й серии равноточных измере­ний.

Т ог д а, е с ли н еравноточные измерения привели к результатам

x₁, x₂,…x_m (x_j— среднеарифметическое ряда равноточных изме­рений; j < т), то наиболее вероятным значением величины будет се средневзвешенное значение:

_

Вероятность а того, что х_и лежит в пределах равноточных измерений (х_и ± Δ_и), определяется вышеприведенным методом для рав­ноточных измерений.

 

Однократные измерения

 

Прямые статистические измерения в большей мере относятся к лабораторным (исследовательским), например при разработке и ат­тестации методики, когда погрешность измерений выявляется в процессе проведения и обработки экспериментальных данных.

Для производственных процессов более характерны однократные технические прямые или косвенные измерения. Здесь процедура из­мерений регламентируется заранее, с тем чтобы при известной точ­ности СИ и условиях измерения погрешность не превзошла опреде­ленное значение, т. е. значения Δ и Р заданы априори. Поскольку измерения выполняются без повторных наблюдений, то нельзя от­делить случайную от систематической составляющей. Поэтому для оценки погрешности дают лишь ее границы с учетом возможных влияющих величин. Последние лишь оценивают своими границами, но не измеряют. На практике дополнительные погрешности, как правило, не учитываются, так как измерения осуществляют в ос­новном в нормальных условиях, а субъективные погрешности так­же весьма малы.

В принципе, однократные измерения достаточны, если не иск­люченная систематическая погрешность (например, класс точно­сти СИ) заведомо больше случайной. Практически это достигает­ся при Δ = (0,50,...,0,25)Δ_С. Тогда результат измерения записывают в виде

х = х_с. ± Δ_Σ при вероятности Р = 0,95, где х_си — результат, зафиксированный СИ;

___________

Δ_Σ =√ Δ_си²+Δ_мет²

суммарная погрешность измерения, определяемая классом точ­ности СИ (Δ_си) и методической погрешностью (Δ_мет).

Для уточненной оценки возможности применения однократ­ных измерений следует сопоставить суммарные погрешности, по­лучаемые при этом, с суммарными погрешностями многократ­ных измерений при наличии случайной Δ и не исключенной систематической составляющих. Учитывая, что

 

σ_Σ = √σ_о²+ σ_Δс² и σ_Δс =Σθ /√3

 

при многократных измерениях суммарное СК.О результата σ_Σи=К√σ_х/n+θ²/3

 

а, при однократных σ_Σ0=К√ σ_х +θ²/3

 

Изменение отношения

_____________

√1/n+⅓(θ/σ_х)²

γ(r)= σ_Σи/ σ_Σ0= ^{________________}

___________

√1+⅓(θ/σ_х)²

 

 

Рис. 12

 

в зависимости от θ/σ_х и числа измерений приведено на рис. 12 из графиков которого следует:

• при θ/ σ_х ≥ 8 отношение γ≈const и практически не зависит от n т. е. в этих условиях нет смысла в многократных измерениях, случайная составляющая пренебрежительно мала и определяю­щей является не исключенная систематическая составляющая;

• при θ/ σ_х < 0,8 функция γ (n) явно зависит от n, т. е. здесь суще­ственную роль играет случайная составляющая, не исключенная си­стематическая составляющая пренебрежительно мала и однократ­ные измерения недопустимы;

• при 0,8 < θ/ σ_х < 8 должны учитываться и случайная, и не иск­люченная систематическая составляющие.

В последнем случае композицию этих составляющих и погреш­ность результатов измерения находят по эмпирической формуле

Δ(P)=t_Σσ_Σ

где 't_Σ= Θ(P)+Δ(P) / σ_{х +}+θ /√3 — коэффициент, соответствующий q-му уровню значимости данной композиции;

_________

σ_Σ =√ σ_x² - + θ /3 — СКО ком­позиции; θ (P) и Δ (Р) — соответственно не исключенная система­тическая составляющая и доверительная граница случайной погреш­ности при заданной доверительной вероятности Р.

 

Вычисление погрешности Δ(P) по формуле дает по­грешность не более 12%, но достаточно сложным способом. По­этому можно пользоваться упрощенной формулой _"

Коэффициент К_р находят в зависимости от доверительной ве­роятности P, принимаемой на уровне 0,95 или 0,99, следующим образом:

_o

Практически, если одна из составляющих Δ_с или Δ менее 5% общей погрешности, то этой составляющей можно пренебречь.

Алгоритм действий, например, при разработке и аттестации методик выполнения измерений с однократными измерениями заключается в следующем:

1. Предварительно устанавливают необходимую допускаемую погрешность Δ_g измерения.

2. Для самой неблагоприятной функции распределения — нормальной в соответствии

_o

с ГОСТ 8.207—76 находят Δ_с, Δ=2σ_x и принимают Р = 0,95.

_o

3. Находят значение погрешности Δ = 0,85(Δ + Δ_с) и сравнивают его с Δ_g.

Если Δ<0,8 Δ_g, то однократные наблюдения возможны с погрешностью до 20%.

Если 0,8 Δ_g <Δ<|Δ|, то полученное значение следует уточнить с уче­том Δ_с и σ_х.

При Δ_с/σ_х≤ 0,43 или Δ_с/σ_х ≥ 7 значение погрешности Δ

 

определяют по формуле Δ = 0,9(Δ +Δ_С). Если Δ<0,89 Δ_g, (*),то однократные измерения возможны с погрешностью не более 11%.

_o

В случае 0,43< Δ_с/σ_х<7 вычисляют Δ= 0,75(Δ + Δ_С), и если Δ<0,93 Δ_g (**)-однократные измерения возможны с погрешностью не более 7%.

Если соотношения (*) и (*) не соблюдаются, то опре­деляют "весомость " составляющих

_o

погрешности. При превалиру­ющей случайной составляющей Δ >Δ_С необходимо перейти к мно­гократным измерениям.

 

_o

При Δ <Δ_с нужно уменьшить методичес­кую или инструментальную составляющие (например, выбором более точного СИ).

Практически при однократных измерениях, чтобы избежать промахов, делают 2—3 измерения и за результат принимают сред­нее значение. Предельная погрешность однократных измерений в основном определяется классом точности Δ_си СИ. При этом, как правило, систематическая составляющая не превосходит Δ_с≤0,ЗΔ_СИ, а случайная Δ_С≤0,4Δ_СИ , поэтому, учитывая, что _o

Δ_изм = ± (Δ_С + Δ), погрешность результата однократного измерения можно принять равной Δ_изм= 0,7Δ_СИ. Поскольку Δ_изм<3σ_х (σ_х —СКО параметра), то реально погреш­ность однократного измерения с вероятностью 0,90—0,95 не пре­взойдет (2—2,5)σ_х.

 

Kосвенные измерения

 

Косвенные измерения предполагают наличие функциональной связи

Y= f(х,, х₂,...,х_n)

где х,, х₂,... ,х_n — подлежащие прямым измерениям аргументы функции Y.

Очевидно, погрешность в оценке Y зависит от погрешностей при измерениях аргументов. При этом могут иметь место два слу­чая: аргументы взаимонезависимы и взаимозависимы.

Для независимых аргументов абсолютная погрешность

относительная

и СКО функци