Теорема единственности решения теплопроводности

– решение задачи

Умножим на и проинтегрируем по х

21 Метод Фурье для уравнений теплопроводности

Уравнение Бесселя

Разделим на х

Решение будем искать в виде

Коэффициенты с нечетными номерами

Коэффициенты с четными номерами

-Функция Бесселя

Общее решение:

Полином Лежандра

(-1, 1)

Для

Ортогональная система

Разложение по ортогональному базису

Уравнения эллиптического типа. Уравнение Лапласа на плоскости

Решением u(x, y) являются гармонические функции

Уравнение эллиптического типа

P,q,f – заданные функции

Оператор Лапласа в полярных координатах

Решение уравнения Лапласа в круге

На границе

Оператор Лапласа в цилиндрических координатах

Зависит от r, не зависит от фи

Оператор Лапласа в сферических координатах

Складываем производные

Стационарное распределение температуры в сферическом кольце

Перфая формула Грина

G – область

n – единичная нормаль

Вторая формула Грина

Следствие

Тогда 1 формула Грина будет

Задача на собственные значение

Решение задачи 1, 2 назывется собствкнными функцими дифференциального оператора L, а λ собственными числами

Свойства L

Такие операторы называются эрмитовыми (сыойство симметричности)

Тогда

Множество значений оператора L

Теорема 1

Множество собственных значений оператора L счетно и не имеет конечных предельных точек

Теорема 2

Каждое собственное число имеет конечную потреюность, соответствующие им собственные им функции можно выбирать ортоганальными

Ткорема 3

Всякая ф-я удовлетворяющая граничным условиям и дтфференцируема, разлагается в сходящийся ряд Фурье косвенными ыункциями оператора L

34 Гармонические функции

Удовлетворяют условиям

Частный случай оператора L

Формула типа

Линейная ф-я является гармонической в G

 

Теорема. Принципмаксимумов

Если функция u(x) ≠const –Гармоническая в G и D в G –ограниченная область то

В неограниченной области теоремаа не верна

Док во

пусть

Это возможно если

Если хотя бы в одной точке то среднее значение

Первая краевая задача.Единственность решения

Пусть

– решения задачи

Тогда пусть

В Силу теоремы принципа максимумов u(x) достигает максимума на границе – S

Из

Следстивие

Если то

ДУ эллиптического вида

Задача в море

Это ф-ла пуассона

Задача Дирихле в пространстве. Метод функций Грина

 

Задача Дирихле

 

Формула грина для шара

A,A*- сопряженные точки

- гармогическая функция

Решение задачи дирихле

 

 

Задача Дирихле

Док во

 

Не завити от e поэтому e можно устремить к 0

Следствие

Решение задачи Дирихле в шаре

Решение уравнения Пуссона

 

 

Док во

Какаято теорема

Пусть тогда