Моделей і обґрунтування їх вибору

 

Вид аналітичної функції, за допомогою якої визначають тенденції розвитку у рядах динаміки, залежить від характеру коливань значень ознаки.

1. Якщо показники динамічного ряду змінюються в арифметичній прогресії, без різких коливань, більш-менш рівномірно, то динамічні ряди вирівнюють за рівнянням прямої лінії.

При використанні прямолінійного тренду ŷt = а₀ + а₁t параметри а₀ і а ₁ можуть бути знайдені шляхом рішення системи нормальних рівнянь:

nа₀ + а1∑t = ∑y;

а₀∑t + а1∑t² = ∑ yt

за формулами: ;

.

На основі даних таблиці 2 визначимо значення параметрів рівняння:

 

Рівняння прямолінійного тренду прийме вигляд: ŷt = 27,15 – 0,32t.

Отже, щорічно урожайність в середньому знижувалась на 0,32 ц/га. Підставляючи відповідне даному рокові значення t, визначаємо розрахункові значення ŷt (див. табл. 2.)

Для першого року: у₁ = 27,15 – 0,32∙1 = 26,8 (ц/га);

Для другого року: у₂ = 27,15 – 0,32∙2 = 26,5 (ц/га)

або 26,8 +(– 0,32) = 26,5 (ц/га) і т.д.

 

2. Якщо зміна рівнів ряду відбувається з приблизно рівномірним прискоренням або уповільненням ланцюгових абсолютних приростів, то динамічні ряди вирівнюють за рівнянням квадратичної параболи. Для розрахунку параметрів параболічного тренду ŷt = а_{0 +} а₁ t + а₂ t² складаємо систему нормальних рівнянь:

nа₀+ а₁∑t + а₂ ∑t² = ∑ у;

а₀ ∑t + а₁ ∑t^{2 +} а₂∑t³ = ∑ yt;

а₀∑t^{2 +} а₁ ∑t³ + а₂∑t = ∑ yt ²

 

Таблиця 2

Матеріали до розрахунку трендових рівнянь урожайності зернових

 

Вихідні дані	Елементи для розрахунку параметрів трендових рівнянь
ŷ = а0 + а1 t	ŷ =а0 + а1 t + а2 t² ²
Рік	Урожай-ність, ц/га (у)	t	t^2	yt	Розрахункове значення (ŷ )	t	t^2	t³	t^4	yt	yt^2	Розрахункове значення (ŷ )
	30,5			30,5	26,8					30,5	30,5	26,9
	18,0			36,0	26,5					36,0	72,0	26,5
	29,1			87,3	26,2					87,3	261,9	26,2
	28,1			112,4	25,9					112,4	449,6	25,8
	30,9			154,5	25,6					154,5	772,5	25,5
	17,7			106,2	25,2					106,2	67,2	25,1
	26,8			187,6	24,9					187,6	1313,2	24,8
	22,0			176,0	24,6					176,0	1408,0	24,5
	27,5			247,5	24,3					247,5	2227,5	24,3
	23,0			230,0	24,0					230,0	2300,0	24,0
∑	253,6			1368,0	254,0					1368,0	9472,4	253,6

 

Таблиця 3

Варіанти для розрахунку відхилень (ŷ - y)² по рівняннях тренду

Рік	Для ŷ = 27-0,32t = а0 + a1 t	Для ŷ = 27,34-0,418t+0,0083t²
y	ŷ	ŷ – y	(ŷ - y)²	y	ŷ	ŷ – y	(ŷ - y)²
	30,5	26,8	-3,7	13,69	30,5	26,9	-3,6	12,96
	18,0	26,5	8,5	72,25	18,0	26,5	8,5	72,25
	29,1	26,2	-2,9	8,41	29,1	26,2	-2,9	8,41
	28,1	25,9	-2,2	4,84	28,1	25,8	-2,3	5,29
	30,9	25,6	-5,3	28,09	30,9	25,5	-5,4	29,16
	17,7	25,2	7,5	56,25	17,7	25,1	7,4	54,76
	26,8	24,9	-1,9	3,61	26,8	24,8	-2,0	4,00
	22,0	24,6	2,6	6,76	22,0	24,5	2,5	6,25
	27.5	24,3	-3,2	10,24	27,5	24,3	-3,2	10,24
	23,0	24,0	1,0	1,00	23,0	24,0	1,0	1.00
∑	253,6	254,0	х	205,14	253,6	253,6	х	204,32

Підставляємо розрахункові дані в систему нормальних рівнянь (див. табл. 2).

10а₀+55а₁+385а₂ = 253,6;

55а₀+385 а₁ +3025а₂ = 1368,0;

385а₀+3025 а₁ +25333а₂ = 9472,4.

Ділимо всі коефіцієнти в рівняннях на відповідні коефіцієнти при а_0:

а₀ + 5,5 а₁ + 38,5а₂ = 25,36;

а₀ + 7,0 а₁ + 55,0а₂ = 24,87;

а₀ + 7,86 а₁ + 65,8а₂ = 24,6.

Віднімаючи від другого рівняння перше, а від третього – друге, отримуємо два рівняння з двома невідомими:

1,5 а₁ + 16,5а₂ = – 0,49;

0,86 а₁ + 10,8а₂ = – 0,27.

Ділимо кожну складову цих рівнянь на відповідні коефіцієнти при а₁ і віднімаємо від другого рівняння перше.

а₁ + 11а₂ = – 0,327;

а₁ + 12,558а₂ = – 0,314.

1,558а₂ = 0,013

Звідки а₂ = 0,0083.

Методом підстановки отримуємо параметри а₀ та а₁:

а₁ = – 0,327 – 11∙0,0083 = – 0,418;

а₀ = 25,36 – 5,5 ∙(– 0,418) – 38,5∙ 0,0083 = 27,34.

Отже, рівняння параболічного тренду має вигляд:

ŷt = 27,34 – 0,418t + 0,0083t²

Це означає, що в році, який передує початку досліджень, вирівняна урожайність зернових культур складала 27,34 ц/га, початкова швидкість зниження урожайності – -0,418 ц/га, а прискорення зміни щорічних приростів – 0,0083 ц/га.

Підставляючи в отримане рівняння відповідні значення t, визначаємо розрахункові значення показника для кожного року:

ŷ₁=27,34 – 0,418∙1 + 0,0083∙1 = 26,9 (ц/га);

ŷ₂ =27,34 – 0,418∙2 + 0,0083∙4 = 26,5 (ц/га);

ŷ₃ =27,34 – 0,418∙3 + 0,0083∙9 = 26,2 (ц/га) і т.д.

Розрахункові значення показників наведені в таблиці 2. Близькість розрахункової і фактичної суми у (відповідно 254,0 і 253,6) є критерієм правильності проведених розрахунків.

Для обґрунтування вибору трендового рівняння визначимо квадрати відхилень фактичних рівнів від розрахункових (див. табл. 3). Порівняльний аналіз одержаних даних показує, що для трендового моделювання більш обґрунтованим є рівняння параболічного тренду, оскільки сума квадратів відхилень розрахункових значень від фактичних в даному випадку найменша (204,32<205,14).

На основі проведених розрахунків побудуємо графік, на якому відобразимо фактичні та вирівняні дані (прямолінійний та параболічний тренди) урожайності зернових (додаток Б).

Для екстраполяції (прогнозування) показників на наступні періоди у рівняннях тренду змінюють порядковий номер року та розраховують ŷ .Наприклад, для 11-го року дослідження при використанні рівняння параболічного тренду отримаємо:

у 11 = 27,34 – 0,418 + 0,0083 ² = 23,7 (ц/га).

 

Рис. 1. Аналітичне вирівнювання урожайності зернових культур