Непрерывность и точки разрыва.

Задача 4. Найти точки разрыва и определить их тип .

Решение. Вычислить значение функции обычным путём здесь нельзя лишь в точках где знаменатель обращается в 0. Эти две точки подозрительные на существование разрыва, мы и будем исследовать.

Во-первых, можно представить так: .

Надо найти оба односторонних предела в каждой из точек.

Рассмотрим .

Для предела справа, и модуль раскрывается без лишнего знака:

= = = .

Для предела слева, , и при раскрытии модуля знак минус:

= = = .

Получились разные константы. Значит, разрыв 1-го рода.

 

Рассмотрим .

Здесь и раскрываются одинаково, и равны 2 и . А отличие в том, какого знака бесконечно-малая в знаменателе.

= = = .

= = = .

Хотя бы с одной стороны предел или не существует, значит разрыв 2-го рода.

Ответ. разыв 2 рода, разрыв 1 рода.

Чертёж к этой задаче. Синим цветом показан график этой функции, жёлтым - вертикальная асимптота, где разрыв 2-го рода.

Задача 5. Исследовать тип точки разрыва для .

Решение.

И при , и при здесь , а тогда .

Тогда для обоих односторонних пределов получается одинаково:

. Тогда разрыв устранимый.

К тому же функция чётная, и так ясно, что с двух сторон симметричные ветви графика. Так что достаточно было вычислить только с одной стороны.

Ответ. устранимый разрыв.

График этой функции:

Задача 6. Найти точки разрыва и установить их тип для функции .

Решение. Знаменталь дроби 0 при и . Вычислим односторонние пределы в точках и 3. При этом учитываем, что при и при .

= = = .

= = = .

Пределы конечные, но разные. Разрыв 1-го рода.

= = = .

= = = .

Пределы конечные, но разные. Разрыв 1-го рода.

Ответ. и 3 разрывы 1 рода.

График этой функции:

Задача 7. Исследовать тип точки для функции .

Решение. Ищем односторонние пределы вокруг 0, но при этом каждый раз домножаем и делим на , так чтобы избавиться от синуса в выражении.

= = = = 1.

= = = = .

Здесь знак модуля раскрывается по-разному в зависимости от того, справа или слева от 0 мы находимся. Это либо либо . Получились различные числа. Разрыв 1-го рода.

Ответ. разрыв 1 рода.

Примечание. Вот график этой функции:

Задача 8. Выяснить тип точки для .

Решение. Левосторонний предел здесь должен вычисляться с помощью первой ветви функции, а правосторонний с помощью второй. = 0. = 0. Кроме того, .

Значение функции существует и равно как левостороннему пределу, так и правостороннему. 0 это точка непрерывности.

Ответ. точка непрерывности.

График этой функции:

Задача 9. Найти точки разрыва и определить их тип для функции: .

Решение. Сначала ищем точки, подозрительные на разрыв, то есть где возможен разрыв. Во-первых, это точка стыковки двух ветвей графика, то есть . Там надо предел слева искать с помощью одной функции, а справа - с помощью другой. Кроме того, и . Точка не должна рассматриваться, т.к. правее 1 уже действует другая ветвь функции.

Рассмотрим :

, . Кроме того, значение в точке 1 тоже существует и равно .

Тогда точка непрерывности.

Рассмотрим :

. .

разрыв 2-го рода.

Рассмотрим .

, .

разрыв 1-го рода. Вот график этой функции:

На графике синим цветом показана левая ветвь функции, зелёным - правая, жёлтым - асимптота (она там, где разрыв 2 рода).

Ответ. разрыв 2 рода, точка непрерывности,

разрыв 1 рода.

 

Задача 10 (А,Б). Установить тип точки разрыва для функций:

А) . Б) .

Решение. = , такие пределы не существуют (бесконечное количество колебаний, ордината не устанавливается ни на каком уровне). Разрыв 2 рода.

А вот при умножении на получается, что максимумы также уменьшаются к 0, и тогда пределы существуют.

= 0 (произведение бесконечно-малой на ограниченную является бесконечно-малой).

Ответ. А) разрыв 2-го рода. Б) устранимый разрыв.

Графики этих функций и выглядят так:

и