Временная и векторная диаграммы индуктивной цепи

На рис. 4.2.3. в) изображена векторная диаграмма, из которой видно, что в цепи с «чистой» индуктивностью напряжение U опережает по фазе ток на 90°, а ЭДС самоиндукции отстает по фазе от тока на 90°.

На рис. 4.2.3.г) изображен график мощности.

Рис. 4.2.3.г

Мощность цепи

;

Отсюда видно, что кривая мощности имеет синусоидальную форму и частоту, в 2 раза большую, чем частота тока, напряжения.

4.2.3. Цепь с индуктивностью и активным сопротивлением.

На практике используются реальные катушки индуктивности, которые обладают активным и индуктивным сопротивлением.

На схеме рис. 4.2.3.1 индуктивность и активное сопротивление отделены друг от друга и показан как участки цепи для удобства расчетов.

Рисунок 4.2.3.1

Допустим, что в цепи протекает синусоидальный ток

Напряжение цепи распределится на двух участках

 

 

Приведем векторную диаграмму цепи (рис.4.2.3.2)

 

Треугольник напряжений Треугольник сопротивлений

Рисунок 4.2.3.2

Из теоремы Пифагора:

Действующее значение тока определим по закону Ома:

При расчете цепи используются формулы:

1) Из треугольника напряжений

2) Из треугольника сопротивлений

 

 

Если умножим стороны треугольника напряжений на ток, то получим треугольник мощности

где, - активная мощность цепи

- реактивная мощность

- полная мощность

или

- называется коэффициентом мощности.

Он показывает, какую часть от полной мощности составляет активная мощность и характеризует энергию, которая безвозвратно преобразуется в другие виды энергии.

В символическом виде:

Из треугольника сопротивлений

поэтому Z в алгебраической форме

Пример:

Дано:

R= 30 Ом

L= 0.127 Гн

U= 120 В

f = 50 Гц

Опр: XL,Z,I,S

Написать уравнение мгновенных значений тока и напряжения.

 

Решение

1. Индуктивное сопротивление катушки

2. Полное сопротивление в комплексной форме

3. Ток в цепи

4. Амплитудное значение тока и напряжения

 

5. Напишем уравнение мгновенных значений тока и напряжения:

6. Комплекс мощности

ВА.

Вопросы для самоконтроля

1. Приведите свойства цепи с активным сопротивлением.

2. Свойства цепи с индуктивностью.

3. Запишите формулу полного сопротивления в символическом виде для цепи RL.

4. Запишите закон Ома для цепи с RL в комплексном виде.

Цепь с емкостью.

На вход цепи подадим синусоидальное напряжение

Ток в цепи с емкостью

Выразим через , получим

Т.е. ток опережает по фазе напряжения на . Из выражения тока следует, что .

Это выражение можно написать в таком виде:

- что является выражением закона Ома для цепи с идеальной емкостью.

- выражает величину сопротивления, которое называется реактивным емкостным сопротивлением и обозначается Х_С.

Х_С - это величина, характеризующая противодействие, оказываемое напряжением на обкладках конденсатора переменному току.

В комплексной форме:

Для алгебраической формы:

Зависимость Х_С от частоты приведена на графике 4.2.4.1

Рисунок 4.2.4.1

Векторная диаграмма цепи на рис. 4.2.4.2

Рисунок 4.2.4.1

4.2.4. Цепь с активным сопротивлением и емкостью

Если в цепи с последовательно соединенными R и С протекает синусоидальный ток , то он создает падения напряжений на активном и емкостном сопротивлениях.

Напряжение цепи изменяется по синусоидальному закону и отстает по фазе от тока на угол < 90°, т.е.

Построим векторную диаграмму (рис. 4.2.5.2) и по ней определим действующее значение напряжения.

Рис. 4.2.5.2

Откуда закон Ома для данной цепи:

В символическом виде:

; ;

Полная мощность:

Пример:

R=8 Ом

=6 Ом

U=220В

Определить: I, , ,S

Решение:

1. Полное сопротивление цепи:

2. Ток в цепи:

3. Напряжение на участках:

4. Полная мощность:

S=UI=220∙22=4840 ВА

Активная мощность:

Р=S cos =4840∙0,8=3872 Вт

Реактивная мощность:

Q=S sin =4840∙0,6=2904 Вар

(sin = )

Вопросы для самоконтроля

1. Приведите векторную диаграмму напряжений для цепи RC.

2. Запишите формулу закона Ома в символическом виде для цепи RC.

3. Запишите закон изменения напряжения на емкости, если ток в цепи изменяется по закону: i= .

4. Рассчитайте полное сопротивление цепи в символическом виде, если R=12 Ом, С=253 мкФ, f=50 Гц.

 

4.2.5. Неразветвленная цепь с R,L,C

 

Рис. 4.2.6.1

Если в цепи, рис. 4.2.6.1 протекает синусоидальный ток, то он создает падение напряжений на всех элементах цепи. По второму закону Кирхгофа:

где = i R =

Так как, в рассматриваемой цепи имеется два реактивных сопротивления и , то возможны три режима:

1) > ; 2) < ; 3) =

Векторная диаграмма для случая 1) изображена на рис. 4.2.6.2.

Рис. 4.2.6.2.

Знак перед углом зависит от режима цепи.

Если > , > , цепь имеет индуктивный характер, угол положительный.

Если < , < , цепь имеет емкостной характер, угол отрицательный.

Закон Ома:

где Z = - полное сопротивление.

В комплексной форме:

Треугольники сопротивлений и мощностей приведены на рисунке 4.2.6.3. (а и б)

 

а) б)

рис. 4.2.6.3.

- полная мощность в комплексном виде.

4.2.6. Колебательный контур

Основные параметры контура

Если предварительно зарядить конденсатор и подключить его к индуктивности (рис. 4.2.7.1), то будет происходить обмен энергией между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки. В этой цепи будут происходить колебания, поэтому этот контур называется колебательным.

Рис.4.2.7.1.

Так как колебания происходят без воздействия внешнего источника, а за счет заранее занесенной энергии, то они называются свободными.

Колебания происходят с определенной частотой , называемой частотой свободных колебаний.

Из условия равенства энергий

= ; ;

Основными параметрами колебательного контура, кроме частоты свободных колебаний, являются:

- период свободных колебаний:

;

- характеристическое (волновое) сопротивление:

Характеристическим сопротивлением называется индуктивное или емкостное сопротивление в колебательном контуре при частоте свободных колебаний.

Так как в контуре отсутствуют потери, то контур называется идеальным.

В реальном колебательном контуре (рис. 4.2.7.2) имеются потери, поэтому при возникновении в контуре свободных колебаний энергия предварительно заряженного конденсатора тратится безвозвратно, преобразуясь в тепло. В результате затраты энергии постепенно уменьшается её запас и амплитуда контура уменьшается до нуля. Следовательно, колебания в контуре будут затухающими.(рис 4.2.7.3)

Для характеристики интенсивности затухания свободных колебаний введено понятие «затухание контура». Затуханием называется отношение активного сопротивления контура к его характеристическому сопротивлению.

 

Величина, обратная затуханию, называется добротностью контура.

Добротность характеризует качество контура.

Рассмотрим различные варианты последовательного соединения элементов в цепях переменного тока.

Схема	Треугольник напряжений	Треугольник сопротивлений	Треугольник мощностей
	0< <90°		=arctg
	-90°< < 0		= - arctg
		Цепь носит характер RL
		Цепь носит характер RC
	=0 U=	x = 0 Z = R Цепь носит характер R	S = P

 

4.2.7. Гармонические колебания в цепи при параллельном соединении элементов R,L,C.

К цепи, содержащей параллельное соединение R,L,C
(рис. 4.2.8.1 а) приложено напряжение u= sin t. Согласно первому закону Кирхгофа (ЗТК) ток в неразветвленной части равен:

,

где, =G ,

,

.

Полная проводимость цепи будет равна:

Активная проводимость:

Реактивная проводимость:

При параллельном соединении элементов строят треугольники токов и проводимостей (рис.4.2.8.1.б,в)

а) б) в)

Рис. 4.2.8.1.

 

4.2.8. Резонанс в электрических цепях переменного тока.

В радиотехнике и электросвязи большое значение имеет явление резонанса. Такое явление возникает в цепях, содержащих участки, с емкостным и индуктивным характером. Если цепь содержит последовательно соединенные с генератором элементы, то она называется последовательным колебательным контуром.(рис. 4.2.9.1а). Если элементы соединены параллельно с генератором, то цепь носит название – параллельный колебательный контур. (рис. 4.2.9.1б).

Среди многообразия частот имеется частота, на которой в цепи происходит обмен энергией между магнитными и электрическими полями. К генератору энергия не возвращается. От генератора поступает в контур столько энергии, сколько её тратится на активном сопротивлении цепи, тем самым обеспечиваются незатухающие колебания в контуре.

а) б)

рис. 4.2.9.1

· Частоту, на которой наблюдается явление резонанса, называют резонансной и определяют по формуле:

;

· Характеристическим сопротивлением контура называют реактивные сопротивления на резонансной частоте и определяют как:

[Ом]

· Резонансные свойства контура характеризуются добротностью контура, которая равна:

Добротность контура зависит от внутреннего сопротивления генератора .

В последовательном колебательном контуре, (рис.4.2.9.1а) чем больше , тем больше потери энергии внутри источника, тем меньше добротность, что приводит к ослаблению резонансных свойств контура.

В параллельном колебательном контуре, (рис. 4.2.9.1б) если будет мало, то через него будет проходить большая часть разрядного тока конденсатора, что приведет к большим потерям, уменьшит добротность и ухудшит резонансные свойства контура.

Различают два типа резонансов. В последовательном колебательном контуре возникает резонанс напряжений, а в параллельном – резонанс токов. Свойства цепей при резонансе рассматриваются в следующей таблице:

 

 

Условия возникновения резонанса напряжений: 1. реактивные сопротивления контура равны. ; 2. частота колебательного контура должна равняться частоте питающего сеть генератора	Условия возникновения резонанса токов:   1. Реактивные проводимости параллельных ветвей равны. ; 2. частота колебательного контура должна равняться частоте питающего сеть генератора
Резонанс напряжений – это явление при котором напряжение на реактивных элементах в Q раз больше, чем напряжение питающего генератора. При этом ток в контуре максимальный	Резонанс токов- это явление при котором ток в параллельных ветвях в Q раз больше, чем ток в неразветвленной части цепи. При этом ток в контуре минимальный.
Векторная диаграмма напряжений Резонансная кривая контура	Векторная диаграмма токов Резонансная кривая контура
Входное сопротивление схемы при резонансе минимально и равно активному сопротивлении.	Входное сопротивление схемы при резонансе максимально и равно.

 

Важной характеристикой колебательного контура является полоса пропускания – это полоса частот, в пределах которой величина не меньше 0,707 от своего максимального значения. Полосу пропускания можно определить по формуле:

Где: ; ; ; - граничные частоты, на которых величина равна 0,707 от своего максимального значения.

 

Колебательные контуры и явление резонанса широко используются в радиотехнике и электросвязи. В радиоприемниках и усилителях они являются избирательными цепями, в автогенераторах, электрических фильтрах, в корректорах и других устройствах являются частотно-зависимыми элементами.

Пример:

Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных резистора R=15 Ом, катушки индуктивности L=636 мкГн и конденсатора C=600 пФ.

Определить резонансную частоту , характеристическое сопротивление , добротностьQ, затухание d. Чему равны ток , расходуемая в цепи мощность , напряжения на индуктивности , и емкости , если контур включен на напряжение U=1,8 B? Какую избирательность обеспечивает данный контур при расстройке на ?

Рассчитать и построить зависимости:

для значений обобщенной расстройки . Показать на графике полосу пропускания контура.

Решение:

,

,

,

,

.

Рассчитаем и построим заданные зависимости:

1.

2.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется колебательным контуром?

2. Какие колебания называются свободными, вынужденными?

3. Что называется «резонансом напряжений»?

4. Что называется «резонансом токов»?

5. Условия возникновения резонансов

6. Что характеризует добротность контура?

7. Как определяется резонансная частота?

 

4.3. Расчет цепей символическим методом

Символический метод основан на использовании комплексных чисел.

Комплексное число состоит из вещественной А' и мнимой А» частей. А = А' + jА».

Комплексное число можно представить вектором на комплексно-числовой плоскости. (рис. 4.3.1.) Проекция вектора на вещественную ось (ось абцисс) соответствует вещественной части комплексного числа А', проекция вектора на мнимую ось (ось ординат) соответствует коэффициенту при мнимой единице А»,

j-мнимая единица представляет собой поворотный множитель, умножение на который означает поворот вектора на 90° против часовой стрелки.

Комплексным числам А =3+ j4 и В = 5-j2

Соответствуют векторы А и В, изображенные на рис. 4.3.1.

 

Модуль комплексного числа соответствует длине вектора, изображающего это комплексное число.

Модуль комплексного числа:

|А|= ;

Т.е. |А|= ; |В|=

 

Углы и , образованные векторами А и В, называются аргументами комплексного числа

= arctg

 

Для приведенных примеров

= arctg =53°10'

= arctg =-21°40'

Существует 3 формы записи количественного числа:

1. Алгебраическая А = А' + jА»

2. Тригонометрическая А =|А|cos +j|А|sin ,

Так как А' =|А| cos

А»=|А| sin

3. Показательная А =|А|е =5е

В =|В|е =5,4е

Для перевода из показательной формы в алгебраическую пользуются тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для перевода из алгебраической в показательную форму определяют модуль и аргумент.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Сложение и вычитание комплексных чисел производят в алгебраической форме, а умножение и деление удобнее и проще производить в показательной форме.

При умножении комплексных чисел в показательной форме модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются:

При делении комплексных чисел в показательной форме этих чисел делятся, а аргументы вычитаются

Если ток и напряжение изменяется по синусоидальному закону

 

То их можно изобразить векторами и записать комплексными числами

Комплекс полного сопротивления цепи:

Алгебраическая форма записи комплекса полного сопротивления

Любую цепь переменного тока можно рассчитывать по закону постоянного тока, если все величины представить в комплексной форме.

Комплекс полной мощности цепи определяется произведением комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока I. У сопряженного комплекса знак перед мнимой единицей j меняется на противоположный

где Р- активная мощность

Q- реактивная мощность

Пример

Определить полное сопротивление цепи (рис.4.3.2) напряжение на зажимах, мощности (активную, реактивную, полную) если

 

Решение

1. Полное сопротивление цепи

2. Напряжения на зажимах цепи

3. Полная мощность цепи

где Р=15.99 = 16 Вт – активная мощность

Q= -0.015 Вт – реактивная мощность

Вопросы для самоконтроля.

1. Какие формы записи комплексных чисел вы знаете?

2. Сложите два числа

3. Перемножить два числа

4. Выражаем токи через потенциалы, ЭДС и сопротивления.

,

5. Примем

6. Подставляем полученные выражения токов в уравнение 1.

7. Подставим числовые значения и решаем полученное уравнение.

8. Определяем токи в ветвях.

Действительные направления токов совпадают с выбранными.

 

Тема №3: Трехфазные цепи. [Электротехника Электронное пособие для студентов очной и заочной форм обучения всех технических специальностей]

Основными приемниками электрической энергии являются электрические двигатели, применяемые для приведения в движение рабочих машин. Наиболее простые из них трехфазные асинхронные двигатели. Для производства, распределения и передачи электрической энергии применяют трехфазные генераторы.

Система, состоящая из трех цепей, в которой действуют синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые относительно друг друга по фазе и создаваемые одним источником – называется трехфазной.

Система будет симметричной, если будут равны амплитуды фаз и углы сдвига фаз между каждой парой ЭДС.

На рисунке 4.14а, изображены временные диаграммы ЭДС, на рисунке 4.14б, векторная диаграмма, а на 4.14в, иллюстрируется принцип получения трехфазной системы ЭДС. В равномерном магнитном поле с постоянной угловой скоростью вращаются три одинаковых жёстко скрепленных друг с другом катушки.

Плоскости катушек смещены в пространстве относительно друг друга на 120°. В каждой катушке находится синусоидальная ЭДС одинаковой амплитуды. Уравнения ЭДС записывают в следующем виде:

а)

Е_А

Е_С Е_В

б) в)

Рисунок 5.11

Векторы вращающиеся против часовой стрелки и фазы чередуются А, В, С, что называют прямой последовательностью фаз.