Указания к выполнению задачи 3

3.2.1. Построение схемы фильтра

 

Схема ARC- фильтра составляется путем каскадно-развязанного соединения звеньев второго и первого порядков, каждое из которых реализует один из сомножителей функции H (p), полученной в задаче 2. Эти сомножители для звеньев различных типов должны иметь вид:

 

– для ФНЧ (3.1)

– для ПФ; (3.2)

– для ФВЧ; (3.3)

– для РФ. (3.4)

 

Кроме того, передаточные функции ФНЧ и ФВЧ нечетных порядков будут содержать по одному сомножителю первого порядка

 

(3.5)

(3.6)

Каскадно-развязный принцип реализации обусловлен тем, что с увеличением порядка передаточной функции фильтра резко увеличивается чувствительность его частотных и временных характеристик к изменению параметров элементов , а также повышается вероятность самовозбуждения цепи. В связи с этим на практике не применяют ARC- звенья выше второго порядка.

Звенья из табл. 3.1 и 3.2 следует выбирать так, чтобы вид их передаточных функций соответствовал типу фильтра (см.(3.1) – (3.4)), а также в зависимости от величины добротности полюса сомножителя передаточной функции фильтра, рассчитываемой по формуле При рекомендуется использовать звенья с одним операционным усилителем, схемы которых приведены в табл. 3.1. Для реализации сомножителей с большими значениями добротностей следует использовать звенья, построенные по методу АВТ, схемы которых приведены в табл. 3.2.

Выбор звеньев в зависимости от добротности полюса передачи нуждается в пояснении.

Известно, что с ростом порядка передаточной функции фильтра, увеличиваются значения добротностей ее полюсов передачи (табл. 2.11 и 2.12). Анализ ARC- звеньев [6] показывает, что увеличение добротности полюса передачи приводит к росту разброса параметров элементов реализующего звена и к увеличению чувствительности его частотных характеристик к изменению параметров элементов.

Ограничение на разброс параметров элементов является одним из основных исходных требований при разработке активных фильтров. Это требование диктуется, в частности, особенностями интегральной технологии изготовления ARC- фильтров и их настройки. Кроме того, фильтры с относительно небольшим разбросом параметров элементов обладают, как правило, большей стабильностью частотных и временных характеристик.

Другим немаловажным исходным требованием к проектируемому ARC- фильтру является минимальное количество активных и пассивных элементов в его схеме. С этой точки зрения оптимальными для построения схемы фильтра являются звенья из табл. 3.1, содержащие по одному операционному усилителю. Однако в таких звеньях, согласно [6], разброс параметров элементов возрастает пропорционально квадрату добротности полюса передачи реализуемой ими передаточной функции. Например, для звена 1 минимально возможный разброс емкостей . Уже при разброс емкостей составит величину Подобные выражения для расчета разброса параметров емкостей и резистивных сопротивлений по заданной добротности полюса передачи характерны и для других простых звеньев. Это обусловливает использование при звеньев, содержащих большее число пассивных и активных элементов, например, звеньев, построенных по методу АВТ. Добротности полюсов передаточных функций таких звеньев определяются, как правило, произведением нескольких отношений параметров элементов.

Например, для звена 1 из табл. 3.2

.

Для других звеньев выражение для может быть иным, но для всех ARC- звеньев имеется возможность не только положить равными значения емкостей, но и выбрать их оптимальными по тем или иным критериям. При этом число номиналов резистивных сопротивлений и разброс этих номиналов могут быть относительно небольшими. Так в приведенном выше примере при С 1 = С 2 число номиналов резистивных сопротивлений равно двум, поскольку возможно задать равенства: R 2 = R 5 = R 0 и R 3 = R 4 = R 6 = R 01. Тогда разброс номиналов резистивных сопротивлений . При Q = 100 указанный разброс составляет приемлемую величину (r = 21,5).

Что касается чувствительности характеристик к изменению параметров элементов, то при высоких она оказывается более низкой у звеньев структуры АВТ, чем у звеньев с одним операционным усилителем. Это также говорит в пользу применения таких звеньев при .

При реализации передаточных функций РФ в курсовой работе предлагается использовать только звенья, построенные по методу АВТ (табл. 3.2), независимо от добротности полюса передачи. Это обусловлено сложностью настройки звеньев РФ, построенных на одном операционном усилителе.

ARC- звенья в схеме фильтра во избежание их перегрузки, появления нелинейных искажений и в целях улучшения соотношения сигнал/шум, согласно [7, 8], следует располагать от входа к выходу в порядке возрастания добротности полюса передачи.

Последними каскадами в схемах ФНЧ и ФВЧ нечетных порядков следует включить пассивные RC -звенья первого порядка (рис. 3.1), для которых не выполняется условие каскадно-развязанной реализации

>> .

C

C

Рис. 3.1. Пассивные звенья RC -цепи 1-го порядка

 

3.2.2. Расчет параметров элементов ARC фильтра

Для нахождения численных значений параметров элементов выбранных звеньев составляется система уравнений путем уравнивания коэффициентов реализуемого сомножителя передаточной функции фильтра с соответствующими коэффициентами передаточной функции звена, выбранного из табл. 3.1, 3.2.

Выражения для передаточных функций звеньев с добротностью полюсов приведены в табл. 3.1. Выражения для передаточных функций звеньев, построенных по методу АВТ (табл. 3.2), следует найти самостоятельно по методике, изложенной в прил. 3.

Передаточная функция фильтра, полученная в задаче 2, должна быть реализована с точностью до постоянного множителя. Поэтому нет необходимости уравнивать коэффициенты в числителях выражений (3.1) – (3.4) с соответствующими коэффициентами, выраженными через параметры элементов звеньев. Значения этих коэффициентов следует рассчитать после того, как будут найдены численные значения параметров элементов. В результате уравнивания коэффициентов должна получиться система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных параметров элементов. По этой причине избыточные параметры необходимо задать, по возможности положив их равными. В курсовой работе величины сопротивлений и емкостей рекомендуется задавать в пределах 50…100 кОм и 1…3 нФ соответственно.

Пусть, например, требуется реализовать передаточную функцию

(3.7)

ARC- звеном с передаточной функцией

(3.8)

Уравнивая коэффициенты

 

 

получим систему трех уравнений с десятью неизвестными. Задаем семь дополнительных равенств

Ф; Ом.

Рассчитываем остальные параметры: кОм; кОм;

Обратите внимание, что в приведенном примере значения коэффициентов требуемой (3.7) и реализованной (3.8) функций отличаются. Заданная передаточная функция реализуется ARC- звеном с точностью до постоянного множителя Знак «-» означает, что ФЧХ ARC- звена будет отличаться на p от ФЧХ реализуемого сомножителя передаточной функции.

Отличие коэффициента от единицы приводит к тому, что характеристика ослабления ARC- звена отличается от требуемой на постоянную на всех частотах величину, называемую плоским ослаблением .

В курсовой работе рассчитайте величину для случая, когда различны коэффициенты требуемой и реализованной передаточных функций. Для этого вычислите коэффициент

(3.9)

где N – число сомножителей передаточной функции полученной в задаче 2;

А – значение коэффициента перед p в старшей степени числителя Н (р);

значения коэффициентов числителей передаточных функций реализованных звеньев.

Тогда передаточная функция реализованного фильтра имеет вид

а характеристика ослабления

= (3.10)

Отсюда следует, что

дБ.

Для приведенного выше примера дБ. Это означает, что ARC- звено на всех частотах дополнительно усиливает входной сигнал на 6 дБ.

Аналогично находятся параметры элементов пассивных RC -звеньев (рис. 3.1). Для этого предварительно нужно получить выражения для их передаточных функций через параметры элементов.

3.2.3. Расчет частотных зависимостей параметрических

чувствительностей АЧХ и ФЧХ звена АВТ-структуры

К стабильности частотных характеристик ARC- фильтров зачастую предъявляются весьма жесткие требования. В то же время параметры пассивных элементов звеньев (особенно емкостей) зависят от температуры окружающей среды, подвержены эффекту старения. Параметры операционных усилителей, в первую очередь их коэффициенты усиления, также зависят от температуры и, кроме того, от величины напряжения источника питания. Изменения параметров элементов под воздействием дестабилизирующих факторов вызывают изменение передаточной функции фильтра. При этом частотные и временные характеристики звеньев фильтра с более высокой добротностью полюса передачи более чувствительны к изменению параметров элементов нежели с низкой [5, 6]. Стабильность характеристик фильтра в целом во многом определяется стабильностью тех же характеристик наиболее высокодобротного звена (при Q ³ 5 такое звено должно иметь структуру АВТ). При этом необходимо учитывать, что одинаковые относительные изменения параметров отдельных элементов звена оказывают различное влияние на его характеристики. Как правило, АЧХ и ФЧХ звена наиболее чувствительны к изменению параметров элементов, входящих в выражение для частоты полюса звена .

Для оценки относительных или абсолютных отклонений некоторой характеристики электрической цепи от требуемой при относительном изменении одного из параметров в пределах 1% используются общие понятия относительной и полуотносительной чувствительностей.

Пусть – некоторая функция переменной х, зависящая от параметров . Тогда относительная и полуотносительная чувствительности функции к изменению параметра при фиксированных значениях других параметров определяются соответственно как

и

Частотные зависимости относительной чувствительности АЧХ и полуотносительной чувствительности ФЧХ удобно рассчитывать, используя понятия операторной и комплексной функций чувствительности.

Операторная функция чувствительности:

(3.11)

Поскольку передаточная функция цепи представляет собой отношение двух полиномов , то операторную функцию чувствительности можно находить как разность чувствительностей числителя и знаменателя:

(3.12)

Комплексная функция чувствительности:

(3.13)

Таким образом, вещественная и мнимая части комплексной функции чувствительности представляют собой частотные зависимости относительной чувствительности АЧХ и полуотносительной чувствительности ФЧХ к изменению параметра .

В курсовой работе для звена фильтра, построенного по методу АВТ, номер которого указан в табл. 3.3, требуется:

1. Получить выражения АЧХ и ФЧХ с числовыми коэффициентами.

2. Получить выражение для операторной функции чувствительности к изменению заданного параметра , используя (3.12).

3. Получить выражения частотных зависимостей относительной чувствительности АЧХ и полуотносительной чувствительности ФЧХ к изменению параметра и записать их с числовыми коэффициентами.

4. Построить на ПК, используя программу Mathcad, графики АЧХ, ФЧХ и частотных зависимостей чувствительностей и в диапазоне частот где .

Для сравнения по чувствительности однотипных характеристик электрических цепей, выполненных по разным схемам и содержащим разное количество элементов, целесообразно использовать понятие среднеквадратичной чувствительности. Например, среднеквадратичная чувствительность АЧХ

 

В качестве иллюстрации вышеизложенного получим выражения для чувствительностей частотных характеристик звена с передаточной функцией (3.8) к изменению параметра Для нее

Операторная функция чувствительности:

 

; ;