Описание физических процессов в приближении сплошной среды

Наиболее удобные способы наглядного изображения электрического поля связаны с двумя взаимодополняющими картинами: силовых линий и линий равного потенциала.

Для построения эквипотенциальных линий (в трехмерном случае - поверхностей) поля, созданного системой зарядов, можно воспользоваться принципом суперпозиции: потенциалы полей, созданных разными зарядами, алгебраически складываются. Поскольку потенциал поля, созданного зарядом q на расстоянии r от него, равен, легко определить общий потенциал в любой точке.

В задачах моделирования достаточно стандартная проблема - построение линий (поверхностей), вдоль которых некоторая функция имеет одинаковое значение, называемых изолиниями (изоповерхностями). Это очень распространенная задача визуализации характеристик некоторого скалярного поля в приближении сплошной среды.

Пусть поле создается системой точечных электрических зарядов Q₁..., Q_p с координатами соответственно (х₁, y₁),..., (х_p, у_p). Типичная процедура построения изолиний на экране компьютера состоит в следующем. Выберем по осям х и у некоторые шаги h_x и h_y покроем плоскость сеткой, образованной прямыми, параллельными осям х и у и отстоящими друг от друга на расстояниях h_x и h_y соответственно. Точки пересечения этих прямых - узлы сетки. Пронумеруем их так: начало координат (0,0), следующий по оси x вправо - (0,1), влево - (0,-1); по оси у вверх - (1,0), вниз (-1,0) и т.д. Значения потенциала, создаваемого системой зарядов Q₁,..., Q_p в узле (i, k), согласно принципу суперпозиции, таково (обратим внимание, что здесь и ниже i - номер строки, k - номер столбца сетки):

, (22)

Ограничимся прямоугольной областью в плоскости ху: по оси х и по оси у. В этой области (2т + 1)(2n + 1) узлов. Вычислим значения потенциала в каждом из них по указанным формулам. В результате получим матрицу значений потенциала.

Фиксируем некоторое значение потенциала и построим изолинию, соответствующую этому значению. Для этого проходим, к примеру, по i-й горизонтальной линии сетки и ищем среди ее узлов такие соседние значения потенциала, в которых «захватывают» между собой; признаком этого может служить выполнение неравенства (Ф_iк - )(Ф_i,к+1 - ) < 0. Если такая пара узлов найдена, то координату точки, в которой Ф = , найдем приближенно с помощью линейной ин­терполяции:

(23)

Найдя в данной горизонтали все такие точки, перейдем к следующей горизон­тали, пока не исчерпаем их все. Для этого надо совершить двойной циклический проход: во внешнем цикле перебирать i от -n до +n, во внутреннем перебирать к от -m до +m.

После этого следует аналогично заняться поиском нужных точек на вертикаль­ных линиях сетки. Детали процедуры очевидны; формулы, аналогичные (23), имеют вид

(24)

После прохождения всех горизонтальных и вертикальных линий сетки находятся все те точки на этих линиях, в которых потенциал равен Ф. Проведя - мысленно или на экране (или на бумаге) - кривую, плавно проходящую через ближайшие точки (прибегая, например, к интерполяции сплайнами), получим искомую изолинию (разумеется, лишь в том случае, если значение Ф выбрано разумно и такая линия есть в пределах рассматриваемой области). Затем берем другие значения Ф и повторяем указанную процедуру, получая таким образом семейство изолиний.

Один из способов построения объемной картины электрического поля состоит в том, чтобы построить системы изолиний в нескольких параллельных равноотстоящих плоскостях для одного и того же набора значений потенциала. Квазитрехмерная картина совокупности указанных плоскостей с изображенными на них изолиниями создает представление об объемной структуре электрического поля.

Для построения изолиний поля, созданного однородно заряженными нитями, пластинами, можно представить их как совокупности большого числа одинаковых «точечных зарядов», в совокупности воспроизводящих форму нити или пластины.

Процесс теплопроводности возникает, если тело неоднородно нагрето. Простейшая для изучения теплопроводности система - линейный однородный стержень (рис. 7.5). В простой модели боковая поверхность стержня считается теплоизолированной, т.е. через нее нет обмена теплом с окружающей средой.

Обозначим температуру стержня в точке с координатой х в момент времени t через u(x,t). Уравнение теплопроводности имеет вид

(25)

где а - коэффициент температуропроводности, зависящий в первую очередь от вещества, из которого сделан стержень.

Уравнение теплопроводности сопровождается начальными и краевыми условиями, делающими постановку задачи физически однозначной. Начальное условие задает распределение температуры в стержне в начальный момент времени (счита­ем его равным нулю):

u(x,0) =f(х). (26)

Краевые условия (их должно быть в данном случае два) указывают в простей­шем варианте, какая температура поддерживается на концах стержня:

u(0,t) = u|_x=0 = ũ₀(t), u(l,t) u|_х=l, = ũ_l(t). (27)

х

Рис. 5. К вопросу о теплопроводности стержня

Моделирование процесса теплопроводности связано с дискретизацией, как временного изменения температуры, так и пространственного. Если для пространственных производных использовать простейшие центрально-разностные аппроксимации, а по времени - схему Эйлера, то величины находятся из системы линейных алгебраических уравнений

(28)

к = 0, 1,...; i = 1, 2,..., п - 1 - для внутренних узлов пространственной сетки; в силу начального условия . Шаг по времени обозначен Δt, по пространству - Δх.

Описанный метод устойчив при выполнении условия

(29)

Это следует учитывать, выбирая шаги по времени и пространству. Существенно более устойчива следующая неявная схема второго порядка (схе­ма Кранка - Николсона):

(30)

Это система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Для ее решения наиболее эффективен метод прогонки.

Другие численные схемы решения одномерной задачи теплопроводности можно найти в специальной литературе.

Контрольные вопросы

1. Какие примеры сплошных сред и проистекающих в них процессов Вам известны?

2. Как построить на экране компьютера пространственное распределение электрического поля?

3. Как выглядит уравнение теплопроводности в общем случае? Как к нему ставить начальные и граничные условия?

4. Как построить пятиточечную аппроксимацию первой и второй производных на одномерной сетке?

Темы для рефератов

1. Моделирование процессов тепломассопереноса в приближении сплошной среды.

2. Описание процесса диффузии.

3. Моделирование процесса распространения упругих волн в твердом теле.

4. Моделирование простых течений жидкости.

Тема семинарских занятий

Визуализация физических процессов, проистекающих в сплошной среде.

Лабораторная работа

Общие рекомендации

1. При проведении расчетов необходим контроль точности результатов и устой­чивости применяемых численных методов. Для этого достаточно ограничиться эмпирическими приемами (например, сопоставлением решений, полученных с несколькими разными шагами на пространственной и/или временной сетках).

2. Результаты моделирования электрического поля удобно выводить на экран компьютера в следующем виде:

• с помощью изолиний потенциала, построенных для простоты в одной плоскости (в которой лежат заряды или другой); количество изолиний, поддающихся эмпирическому анализу, - от 5 до 8;

• с помощью таблиц координат точек, рассчитанных указанным выше образом на каждой из изолиний;

• используя прием условной раскраски, изображая поле внутри той области, где потенциал особо велик, красным цветом, там, где он мал, синим, а в проме­жуточных областях - последовательностью цветов спектра.

3. Результаты моделирования процесса теплопроводности в стержне удобно выводить на экран в виде:

• графиков зависимостей температуры от координат точек стержня, располагая на одном графике несколько кривых, относящихся к различным моментам времени — от начала эволюции до завершения наблюдения (моделирования);

• изображения стержня с условной раскраской, отражающей временную эволюцию температуры;

• таблиц зависимостей температуры от времени в нескольких точках стержня;

• графиков зависимостей температуры от времени в нескольких точках стержня.

4. При выводе результатов в табличном виде следует учитывать, что соответствую­щие табличные шаги не имеют практически ничего общего с шагами по времени и пространству, использованными при моделировании, и определяются удобством и достаточной полнотой для восприятия результатов на экране. Экран, сплошь забитый числами, зрительно плохо воспринимается. Выводимые числа следует разумным образом форматировать, чтобы незначащие цифры практически отсутствовали.

5. При выводе результатов в графической форме графики должны быть построены так, как это принято в математической литературе (с указанием величин, отложенных по осям, их размерности и масштаба и т.д.).

6. Поскольку таблицы, графики и визуальные изображения на одном экране обычно не помещаются, удобно сделать меню, в котором пользователь выбирает желаемый в настоящий момент вид представления результатов.

Примерное время выполнения 16 часов.

Задания к лабораторной работе

1) Выписать математическую модель, определить состав набора входных параметров и их конкретные числовые значения.

2) Спроектировать пользовательский интерфейс программы моделирования, обращая особое внимание на формы представления результатов.

3) Разработать программу моделирования, используя при необходимости и возможности библиотечные программы (например, построения изолиний, метода прогонки и т.д.).

4) Произвести отладку и тестирование полной программы.

5) Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.

6) Качественно проанализировать результаты моделирования.

7) Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

 

• титульный лист (название работы, исполнителя, группу и т.д.);

• постановку задачи и описание модели;

• результаты тестирования программы;

• результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);

• качественный анализ результатов.

Варианты заданий

Вариант 1

Построить изолинии поля, созданного четырьмя одноименными и равными по величине зарядами, находящимися в вершинах прямоугольника.

Вариант 2

Построить изолинии поля, созданного четырьмя разноименными и равными по величине зарядами, находящимися в вершинах прямоугольника. Знаки зарядов чередуются циклически по соседним вершинам прямоугольника.

Вариант 3

Построить изолинии поля, созданного четырьмя одноименными зарядами, расположенными в вершинах прямоугольника. Значения зарядов (при последовательном обходе вершин) есть q, 2q, 3q, 4q.

Вариант 4

Построить изолинии поля, созданного четырьмя равноименными и равными по величине зарядами, находящимися в вершинах правильного треугольника и в его центре.

Вариант 5

Построить изолинии поля, созданного шестью равноименными и равными по величине зарядами, находящимися в вершинах правильного шестиугольника.

Вариант 6

Провести моделирование объемной картины электрического поля, созданного тремя равными и одноименными зарядами, находящимися в вершинах равностороннего треугольника.

Вариант 7

Провести моделирование объемной картины электрического поля, созданного четырьмя равными и одноименными зарядами, находящимися в вершинах квадрата.

Вариант 8

Разработать метод построения силовых линий электрического поля, созданного системой зарядов, находящихся в одной плоскости.

Вариант 9

Разработать метод построения изолиний поля, созданного совокупностью од­нородно заряженных плоских нитей и точечных зарядов. Получить с его помощью изображение поля, созданного нитью, имеющей форму полуокружности (в той же плоскости, в которой находится нить).

Вариант 10

Построить изолинии поля, созданного двумя параллельно расположенными заряженными нитями при условии, что на нитях равные и одноименные заряды.

Вариант 11

Построить изолинии поля, созданного двумя параллельно расположенными заряженными нитями при условии, что на нитях - равные и разноименные заряды.

Вариант 12

Построить изолинии поля, созданного нитью, имеющей форму полуокружности, и зарядом в ее центр. Совокупный заряд на нити и заряд в ее центре равны по величине и имеют разные знаки.

Вариант 13

Изучить динамику изменения температуры в стержне длиной l с теплоизолированными концами, температура на которых поддерживается постоянной и равной Т₀, с начальным условием

при некотором фиксированном значении коэффициента температуропроводности.

Шаг по сетке принять равным . Построить графики выхода на стационарное значение температуры в каждом из узлов пространственной сетки.

Вариант 14

В условиях предыдущего варианта исследовать влияние шага пространственной сетки на точность результатов моделирования.

Вариант 15

В условиях задания варианта 13 изучить, как влияет на динамику установления стационарного распределения температуры в стержне коэффициент температуропроводности (путем перебора различных его значений).

Вариант 16

В условиях задания варианта 13 изучить сравнительную эффективность методов, выражаемых формулами (28) и (30).

Вариант 17

В начальный момент времени стержень длиной 5 м имеет температуру 20°С. На левом конце стержня включается источник тепла, который модулирует температуру по закону u(0, t) = 20 + 10 sin(ωt). Произвести моделирование изменения температуры в средней точке стержня при различных соотношениях а и ω вплоть до значения времени . Есть ли качественные различия в процессе при быстрой () и при медленной () модуляции?

Вариант 18

Разработать метод максимально наглядной иллюстрации на экране компьютера динамики процесса теплопроводности в стержне, используя сочетание различных приемов, включая цветную раскраску.

Вариант 19

Изучить динамику изменения температуры в стержне длиной l с теплоизолиро­ванными концами, который в начальный момент времени имел одинаковую вдоль всего стержня температуру Г₀, при условии, что на левом конце температура скачком изменилась и поддерживается равной 4Т₀.

Вариант 20

Изучить динамику изменения температуры в стержне длиной l с теплоизолированными концами, который в начальный момент времени имел одинаковую вдоль всего стержня температуру T₀, при условии, что на обоих концах температура скачком изменилась и поддерживается равной 4T₀.

Вариант 21

Изучить динамику изменения температуры в стержне длиной l с теплоизолированными концами, который в начальный момент времени имеет одинаковую вдоль всего стержня температуру T₀, если температура на его концах скачком изменилась и поддерживается равной 2T₀ на левом конце и нулю на правом.

Вариант 22

Изучить динамику изменения температуры в стержне длиной T с теплоизолированными концами, который в начальный момент времени имеет одинаковую температуру T₀, а затем нагревается в центре источником с температурой 4T₀. Концы стержня при этом сохраняют температуру T₀

Вариант 23

Изучить динамику изменения температуры в стержне длиной l с теплоизолированными концами, который в начальный момент времени имеет одинаковую температуру T₀, а затем нагревается в центре и на концах источником с температурой 4T₀.

Вариант 24

Изучить динамику изменения температуры в стержне длиной l с теплоизолированными концами, который в начальный момент времени разбит на 3 равных участка с температурами на концах участков T₀, 2T₀и 3 T₀ соответственно, а затем температура на конце стержня с температурой 3T₀ скачком становится равной T₀.

Дополнительная литература

1. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1969.

2. Калашников С. Г. Электричество. - М.: Наука, 1977.

3. Кикоин А. К., Кикоин И. К. Молекулярная физика. - М.: Наука, 1976.

4. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкостей: Пер. с англ. — Л.: Гидрометеоиздат, 1986.

5. ПоттерД. Вычислительные методы в физике: Пер. с англ. - М: Мир, 1975.

6. Савельев И. В. Курс общей физики: В 3 т. Т. 2, 3. - М.: Наука, 1977.

7. СивухинД.В. Общий курс физики: В 5 т. Т. 2, 3. - М.: Наука, 1974.