П. 2. Функция корня при n- нечетном

При нечетном n функция , рассмотренная на интервале , монотонна уже во всем этом интервале, причем, при , поэтому теперь она имеет обратную функцию с областью определения . Эту функцию также обозначают через

(7)

и называют корнем n- ой нечетной степени из x.

Множество значений этой функции есть также интервал ; она будет, как и функция , монотонно возрастающей в [9].

График рассматриваемой функции является зеркальным отражением графика функции в 1-ой и 3-ой координатной плоскости[2].

Отметим также же, что при любом натуральном n и , очевидно [5].

П.3. Степенная функция с положительным рациональным

Показателем

Определим функцию для положительного рационального показателя r.

Любое рациональное положительное число может быть (и притом единственным образом) представлено в виде частного двух взаимно простых натуральных чисел и , т. е. . Исходя из этого, по определению полагают:

(8)

При таком определении каждому , при котором существует, сопоставляется единственное число и, следовательно, здесь есть функция от . Её и называют степенной функцией с положительным рациональным показателем (степенная функция с целым положительным показателем может быть рассмотрена как частный случай (n=1) функции (8), и оговорка, что рациональный показатель r является дробным, излишне) [9].

Для степеней с рациональным показателем справедливы все свойства степеней с натуральным показателем:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. [3].

Установим область существования функции (8). При - нечетном функция (7) определена на , поэтому при нечетном и функция (8) имеет областью существования интервал .Если же - четное число, то прежде всего - нечетно (иначе дробь была бы сократимой). Но функция (7) при четном определена только при неотрицательных значениях подкоренного выражения. Значит, в (8) должно быть , или, что то же ( нечетно) , т. е. при - четном область существования функции (8) есть полусегмент .

Отметим, что если , то несущественно, будет ли в определении функции (8) несократимой дробью или нет, ибо тогда при (где взаимно просты) области существования функций и одинаковы и вместе с тем и , откуда

. (9)

Отсюда , так как в противном случае в силу монотонности степенной функции было бы ,что противоречит (9).

В частности, при любом натуральном

.

При четном ( - нечетно) функция (8) является четной: , а при нечетном и нечетном - нечетной: [5].

Исследуем теперь на монотонность. Вначале проведём это исследование на . Выше было показано, что функция при натуральном монотонно возрастает на , так, что если , то при и . Но функция (только обозначением аргумента отличающаяся от функции ) монотонно возрастает на , поэтому при и , или , то есть при , и, значит, монотонно возрастает на .

Если четно, то функция (8) определена только на этом полусегменте, и поэтому при четном дальнейшего исследования этой функции на монотонность проводить не нужно. Пусть теперь - нечетное. Тогда функция (8) определена на . И можно проводить дальнейшее исследование на монотонность.

Если и - нечетное, то, по доказанному выше, функция (8) нечетна и, значит, монотонно возрастает и на полусегменте , если же - четное, то, также по доказанному выше, эта функция четна и, следовательно, монотонно убывает на .

Легко понять теперь, что при нечетном и четном функция (8) не монотонна в , тогда как при нечетном и нечетном она монотонно возрастает во всём интервале .

На рис. 7 изображен график функции для частного значения .

Рассмотрена степенная функция с положительным рациональным показателем .