Непрерывность сложной функции

Теорема. Пусть функция z = непрерывна в точке х ₀, а функция y = f (z) непрерывна в точке z ₀ = j(x ₀). Тогда сложная функция непрерывна в точке х ₀, т.е. .

Доказательство

1. Для доказательства теоремы воспользуемся определением непрерывности функции в точке на “языке последовательностей”.

2. Возьмём из множества X любую последовательность точек: сходящихся к x ₀: { x _n} ® x ₀ при n ® ¥ или . X – область определения функции .

3. Тогда соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид: .

4. По условию теоремы функция z = непрерывна в точке х ₀, т.е.

.

5. Тогда и предел соответствующей последовательности значений функции {j(x_n)} тоже будет равен z ₀ или j(x ₀): (на основании определения непрерывных функций в точке на «языке последовательностей»).

6. Последнее утверждение означает, что некоторая последовательность { z _n} сходится к z ₀ при n ® ¥: : .

7. По условию теоремы функция y = f (z) непрерывна в точке z ₀ = j(x ₀), при : .

8. Тогда по определению непрерывности функции в точке на «языке последовательностей»: соответствующая последовательность значений функции { f (z _n)} будет сходится к f (z ₀) при n ® ¥: .

9. С учётом того, что z _n = j(x _n), z ₀ = j (x ₀) перепишем последнее равенство:

.

10. Так как произвольная последовательность значений аргумента "{ x _n} сходится к x ₀ при n ® ¥: , а соответствующая ей последовательность значений функции { f [j(x _n)]} сходится к f [j(x ₀)] при n ®¥: , то, согласно определения непрерывности функции в точке на “языке последовательностей”, сама функция y = f [ ] тоже будет сходится к f [j(x ₀)], при x ® x ₀:

. А это есть условие непрерывности сложной функции в точке x = х ₀.

ч.т.д.

Замечание. 1. Так как , то утверждение теоремы можно записать в виде формулы:

вместо ,

т.е. операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции.

2. При отыскании пределов непрерывных функций эту тему удобно использовать в виде правила замены непрерывной переменной.

3. Так пусть z = j (x) непрерывна в точке х ₀, а функция y = f (z) непрерывна в точке z ₀ = j (x ₀). Тогда

Пример. Найти предел

Решение

1. Пусть . Тогда при .

2. Воспользуемся правилом замены переменной, получим:

 

Точки разрыва монотонных функций

Определение 1

Функция , заданная на некотором промежутке, называется возрастающей (убывающей) на этом промежутке, если для любой пары точек промежутка: и , удовлетворяющих неравенству , выполняется соотношение ().

Определение 2

Если при условии выполняется соотношение (или соотношение ), то называется неубывающей (невозрастающей) на этом промежутке.

Определение 3

Все виды указанных в определениях №№ 1 и 2 функций объединяют под общим названием монотонных. Но возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными.

Теорема 1

Монотонно невозрастающая (неубывающая) функция , заданная на некотором промежутке, имеет конечные односторонние пределы в каждой точке этого промежутка.

Доказательство

Доказательство данной теоремы очевидно. Оно следует из определения функции в точке и на промежутке, а также из определения монотонности функции.

Очевидно, что если функция определена и монотонна на отрезке , то она на этом отрезке ограничена, имеет наибольшее и наименьшее значения, которые принимаются функцией на концах отрезка.

Теорема 2

Монотонная функция может иметь точки разрыва только первого рода.

Доказательство

1. Пусть функция задана на отрезке .

2. Будем считать для определённости возрастающей на отрезке .

3. Возьмем любую внутреннюю точку отрезка , т.е. .

4. Так как точка не самая левая точка отрезка , то на полуотрезке функция ограничена сверху, ибо выполняется неравенство при , .

5. Поэтому множество значений функции на полуотрезке имеет точную верхнюю грань в соответствии с теоремой «всякое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань».

6. Очевидно, что , так как функция - возрастающая на отрезке , а .

7. Согласно определению верхней грани для найдётся такая точка , что при будет выполняться неравенство .

8. Так как функция возрастающая, то при всех , удовлетворяющих неравенству тем более будет верно неравенство

.

9. В соответствии с определением левого предела функции в точке:

: , . . – левый предел.

10. Или .

11. Очевидно, что .

12. Аналогично доказывается, что в точке функция имеет и правый предел , причём .

13. Если левый и правый пределы существуют, а это уже доказано, и совпадают со значением функции в точке , , то функция непрерывна в точке .

14. Если же, по крайней мере, один из этих пределов не равен , то точка есть точка разрыва 1-го рода.

Замечание

Для убывающей функции доказательства теоремы проводится аналогично.

Инъективные функции

Определение

Функция называется инъективной, если она принимает различные значения для всяких двух различных значений аргумента.

Если , то .

Так всякая строго монотонная функция, определённая во множестве действительных чисел, инъективна. Но обратное утверждение неверно.

Пример

Так функция инъективна, но не монотонна на множестве действительных чисел.

Теорема

Непрерывная и инъективная функция , определенная на невырожденном промежутке , строго монотонна.

 

ﻫ Непрерывность обратной функции

Понятие обратной функции

Определение

Пусть и - некоторые множества. И пусть задана функция , т.е. множество упорядоченных пар чисел , причем , . Во множестве упорядоченных пар чисел каждое входит в одну и только одну пару, а каждое число , по крайней мере, в одну пару.

Если в каждой упорядоченной паре этого множества числа и поменять местами, то получим множество упорядоченных пар чисел , которое называется обратной функцией к функции .

Обозначают обратную функцию так: , или .

Замечание

Обратная функция, вообще говоря, не является функцией, так как каждое число может входить не только в одну, но и в несколько пар.

Пример

1. Для функции обратная функция однозначна, поскольку каждое входит только в одну пару чисел .

2. Для функции обратная функция двузначна (так как каждое входит в две пары: , ).

3. Для функции обратная функция – многозначная (каждое входит в бесконечное число пар : , , …).

 

Геометрически данный факт очевиден.

Замечание

Из определения следует, что если обратная функция однозначна, т.е. является функцией в обычном смысле, то множество значений функции (множество ) является областью определения обратной функции . А область определения функции (множество ) является множеством значений обратной функции .

График обратной функции

Перейдём к выяснению вопроса о взаимном расположении графиков прямой и обратной функций.

1. Так как связь между переменными и в прямой функции и обратной ей функции одна и та же, то графики этих функций совпадают.

2. Если же обратную функцию представить в обычно принятых обозначениях: аргумент обозначить за , а функцию обозначить через , т.е. записать . При этом функцию мы по-прежнему будем называть обратной по отношению к функции .

3. Если аргумент функции откладывать по горизонтальной оси, то график обратной функции повернётся.

4. Чтобы получить его новое расположение нужно перегнуть плоскость чертежа по биссектрисе первого и третьего координатных углов. Можно сказать, что график обратной функции является зеркальным отражением (отображением) графика прямой функции в биссектрисе первого и третьего координатных углов.

Пример

- прямая функция. - ей обратная. В стандартном виде обратная функция будет иметь вид .

:

: