Серия задач, где разложение получается с помощью геометрической прогрессии.

Задача 10. Разложить в степенной ряд в окрестности .

Решение. Представим , и тогда знаменатель прогрессии будет . Эта функция представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, записанную в свёрнутом виде, т.е. мы по формуле должны развернуть её обратно в сумму.

.

Ответ. .

Задача 11. Разложить в степенной ряд в окрестности .

Решение. Здесь константа не равна 1, тогда можно вынести константу за скобки, и тогда получится . Мы можем пользоваться этой формулой при условии, что , то есть .

Итак, =

Ответ. =

Задача 12. Разложить в степенной ряд в окрестности .

Решение. Здесь разложение в окрестности другой точки, а не 0, в этом случае надо изначально сделать арифметическое преобразование, чтобы отделить слагаемое вида .

Затем вынесем за скобку констенту 4, чтобы в знаменателе выражение начиналось с 1, т.е. чтобы присутствовала структура типа . Итак, = .

А уже после этого, в качестве знаменателя прогрессии получается

и тогда, при условии, что , получим .

Это верно в такой области: , т.е. .

Ответ. .

Приложения формулы Тейлора.

Нахождение производных высокого порядка. Допустим, нужно вычислить производную 10 порядка в точке 0 для функции, содержащей произведение, например . Если просто считать производные до 10 порядка, и лишь затем фиксировать число, то на каждом шаге по формуле происходит удвоение количества слагаемых. Таким образом, их будет до 1024. Некоторые из них обнуляются в процессе, так как понижается степень, так что в реальности меньше, но всё равно, это очень трудоёмкая работа, вычислить 10 производную для такого типа функции. Вместо этого, мы можем выбрать коэффициент при 10 степени из разложения в ряд Тейлора.

 

Задача 13. Найти для функции .

Решение. = =

Итак, коэффициент при 10-й степени равен . Теоретически же этот коэффициент должен быть . Приравняем эти значения.

= , тогда = = .

Ответ. .

 

Практика 23 (16 декабря у обеих групп).

Экстремумы.

Задача 1. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Решение. Найдём производную. .

Ищем корни этого многочлена. , , корни 2 и 3.

Для определения интервалов монотонности надо найти знак производной на интервалах , и . Знак производной может меняться только в точках 2 и 3, на интервалах он остаётся неизменным. Надо выбрать какую-нибудь наиболее удобную для вычислений точку на интервале, желательно с целой абсциссой.

1) , , на этом интервале монотонный рост.

2) здесь очевидно, целое выбрать не получится.

= = = , на этом интервале монотонное убывание.

3) , = = , здесь монотонный рост.

В точке 2 рост сменяется убыванием, это максимум.

В точке 3 убывание сменяется остом, это минимум.

Кстати, тип экстремума можно найти и с помощью 2 производной:

Выясним знак 2-й производной в этих точках. .

максимум.

.

минимум.

.

Ответ. возрастание, убывание, возрастание.

максимум, минимум.

 

Задача 2. Найти экстремумы функции и разность между ординатами максимума и минимума.

Решение. Производная: . Стационарные точки (где производная = 0) и .

Чтобы определить, где максимум, а где минимум, выясним знак 2-й производной в этих же точках. .

, точка максимум.

точка минимум.

, .

Ответ. максимум, минимум. Разность ординат 108.

 

Задача 3. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Решение. =

=

= .

От знаменателя знак не зависит, знаменатель тут всегда строго больше 0. Поэтому всё зависит только от знака числителя.

Выделим множитель, который может менять свой знак: . Корни .

На интервалах и : , рост.

На интервале : убывание.

В точке рост сменяется убыванием, это максимум.

В точке убывание сменяется ростом, это минимум.

Кстати, в этом примере с помощью интервалов узнать экстремумы проще, чем с помощью 2-й производной, ведь пришлось бы считать поизводную от дроби .

Для построения графика можем найти высоту в точках максимума и минимума: , .

Вот как выглядит график:

Ответ. и рост, убывание.

максимум, минимум.

Задача 4. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Решение. Сначала найдём корни выражения под знаком модуля, чтобы понять, какая часть параболы отражается вверх.

, , , корни и 3.

Тогда знак меняется на интервале , то есть функцию можно записать в виде: .

График:

Производная: .

Производная разрывна при и обращается в 0 при .

Выбирая целочисленную точку на каждом интервале, найдём знак производной на этом интервале.

убывание на .

рост на .

убывание на .

рост на .

Таким образом, точки минимума, максимум.

Ответ. и убывание, и рост,

минимумы, максимум.