Основные алгебраические операции над нечеткими множествами и их свойства

n Алгебраическое произведение А и В обозначается определяется функцией принадлежности вида

mA B (x) = mA(x) mB(x), " x Î E

n Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А+В и определяется функцией принадлежности

mA+ B (x) = mA(x) + mB(x) — mA(x) mB(x), " x Î E

n Степенью нечеткого множества A называется нечеткое множество A α с функцией принадлежности µAα (x) = µαA (x), " x Î E, α>0.

 

18. Бинарная операция и ее основное множество. Способы задания бинарной операции. Таблица Кэли. Операционный квадрат таблицы Кэли. Группоид.

Свойства бинарных алгебраических операций.

Бинарная операция — этоотображение множества A ´ A в множество A, при этом образ пары (x, y) обозначим, например, x · y, где · — символ операции. Здесь A — произвольное непустое множество и A ´ A — множество всех упорядоченных пар (x, y) — таких, что x, y Î A. Непустое множество A называется основным множеством операции.

Можно составить иерархию множеств с бинарной операцией (разумеется, вместо · может быть вставлена любая: +, –, *, È, Ç, Å, Ä, Ñ, ° и т.д. и т.п.).

Свойства бинарных операций

· Ассоциативность

· Коммутативность

· Дистрибутивность слева и справа

· Существование нейтрального элемента

· Разрешимость уравнений

· Существование обратного элемента

Таблица Кэли – матрица | a_i,a_j |, где () – результат операции i элемента на j -ый. Группоид, обозначаемый символом (A, ©) — множество A, на котором задана некоторая бинарная операция, обозначаемая ©. Если множество группоида конечно, ½A½ = n, то таблица операции группоида есть таблица n ´ n, в которой элемент x © y Î A находится в клетке пересечения строки x и столбца y. Группоид можно считать заданным, если выписана его таблица операции.

 

Свойства бинарных алгебраических операций. Квазигруппа. Лупа. Полугруппа. Моноид. Группа. Абелева группа.

Свойства бинарных операций

· Ассоциативность ((a ° b) ° c = a ° (b ° c))

· Коммутативность (a · b = b · a)

· Дистрибутивность слева и справа

· Существование нейтрального элемента (a ° e = e ° a = a)

· Разрешимость уравнений (a · x = b, y · a = b имеет единственное решение для любых элементов a, b этого множества)

· Существование обратного элемента a ° a^ –1= a^ –1° a = e

Группа симметрий фигуры.

Группа симметрий фигуры на плоскости (поворот, отражение вдоль некоторой оси и т.п.)

Группу симметрий фигуры образует множество G различных движений плоскости, самосовмещающих данную фигуру. Чем больше множество G, тем симметричнее фигура. Таблица Кэли: композиции движения. Свойства операций: Существование нейтрального элемента; Если есть латинский квадрат (в каждом столбце и каждой строке таблицы встречается каждый из элементов множества), то существует разрешимость уравнений; Ассоциативность.

 

Группа подстановок.

Отображается множество на себя.

, , , ,

	P 0	P 1	P 2	P 3	P 4	P 5
P 0	P 0	P 1	P 2	P 3	P 4	P 5
P 1	P 1	P 2	P 0	P 4
P 2	P 2	P 0	P 1
P 3	P 3			P 0
P 4	P 4				P 0
P 5	P 5					P 0

Решение:

, , , ,