Уравнение (2.3) называется уравнением вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

2.7. Угол считается положительной, если при наблюдении с положительного конца оси вращение тела наблюдается происходящим против часовой стрелки. В противном случае угол считается отрицательным.

Как видим, правило знаков для функции полностью совпадает с правилом знаков для моментов силы относительно оси, которые рассматривались в статике. Угол в уравнении (2.3) измеряется в радианах (см. приложение), то есть в безразмерных величинах. Направление вращения тела принято условно показывать дуговой стрелкой (см. рис.2.5б).

2.8. Кинематическими характеристиками вращающегося тела являются угол поворота , угловая скорость и угловое ускорение .

Средняя угловая скорость. По аналогии со средней (линейной) скоростью , вычисляемой по (1.12), вводится понятие средней угловой скорости . Пусть за промежуток времени тело совершает поворот на угол . Тогда,

 

= (2.4)

 

2.9. Средней угловой скоростью тела называется алгебраическая величина, равная отношению приращения угла поворота тела к приращению времени , за которое оно произошло. Если тело вращается против часовой стрелки, >0, если тело вращается по часовой стрелке <0.

Пример 2.2: Автомобиль, двигаясь прямолинейно, начал торможение и остановился через 4с. пройдя путь . Определить среднюю угловую скорость колес автомобиля за время торможения, если их радиус

Решение: Полагая в момент начала торможения, по (2.4) можно записать: = .

Здесь - полный угол поворота колес на пути торможения в , -угол поворота колеса при одном его обороте, - число оборотов колес на пути торможения, -время торможения. Подставляя исходные данные, получим .

Угловая скорость. Переходя к пределу в формуле (2.4) при по аналогии с формулами для линейных скоростей точки (1.13), (1.33), (1.53), которые обсуждались в первой главе, можно записать:

 

(2.5)

2.10. Угловой скоростью тела называется алгебраическая величина, равная первой производной по времени от функции угла поворота тела .

В основных единицах системы СИ угловые скорости или вычисляются в рад/сек (пишут еще так - рад/с или ). Угловая скорость – величина алгебраическая, то есть она может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Зная правило знаков для функции углов поворота , получаем следующее правило знаков для функции угловой скорости :

2.11. Если тело вращается против часовой стрелки, угловая скорость >0, если тело вращается по часовой стрелке <0.

Направление угловой скорости принято условно показывать дуговой стрелкой (рис. к примерам 2.3, 2.4). Как и в случае с вектором линейной скорости точки, который всегда направлен в сторону движения точки (глава 1), направление дуговой стрелки всегда совпадает с направлением вращения тела.

Пример 2.3. Закон вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси задан функцией (рад). Определить угол поворота и угловую скорость тела в момент времени

Решение: При имеем (рад). Вычисляем угол поворота тела за 2с. (рад). Если учесть, что один полный оборот тела соответствует изменению угла на (рад), можно заключит, что тело за 2с. повернулось вокруг оси вращения против направления движения часовой стрелки четыре раза. Угловая скорость . В момент времени имеем . Дуговые стрелки для и должна быть направлены по направлению вращения тела (в положительном направлении), как показано на рис. к примеру 2.3.

 

 

Пример 2.4. Закон вращательного движения твердого тела в форме прямоугольного параллелепипеда относительно неподвижной оси задан функцией (рад). В начальный момент времени положение параллелепипеда показано на рис. 1 к примеру 2.4 (фронтальная грань параллельна плоскости рисунка) Определить угол поворота и угловую скорость тела в момент времени За какое время тело сделает один полный оборот вокруг своей оси.

Решение: Подставляя значение в закон вращения тела получим . Поэтому угол будем отсчитывать от плоскости, в которой в начальный момент времени лежит грань . Кроме того замечаем, что угол при любых значениях . Следовательно, тело вращается по часовой стрелке, как показано на рис. 2 к примеру. При тело повернется на отрицательный угол . То есть тело сделало пол оборота по часовой стрелке. К этому моменту времени передняя и задняя грани параллелепипеда поменяются местами. Параллелепипед займет положение, показанное на рис. 2 к примеру. Угловая скорость вращения параллелепипеда определяется формулой (2.5). В нашем случае (рад/с). В момент времени получим (рад/с). Направление совпадает с направлением «угловой координаты» , что показано на рис. 2 к примеру. Интересно отметить, что для того чтобы сделать еще пол оборота, телу потребуется времени меньше трех секунд. Это видно из того, что модуль угловой скорости тела все время растет пропорционально времени (рад/с). С другой стороны путем непосредственных вычислений найдем время одного полного оборота: . Отсюда, время одного полного оборота Следовательно, вторые пол оборота произойдут за промежуток времени (с).

Угловое ускорение. По аналогии с формулами для линейных ускорений точки (1.15), (1.38), (1.55), которые обсуждались в первой главе, можно записать выражение для среднего углового ускорения ():

(2.6)

 

2.12.Средним угловым ускорением тела называется алгебраическая величина, равная отношению приращения угловой скорости к приращению времени , за которое оно произошло.

Переходя к пределу в (2.6) при , получим

 

или (2.7)

 

2.13.Угловым ускорением тела, вращающегося относительно неподвижной оси, называется алгебраическая величина, равная первой производной по времени от функции угловой скорости тела или второй производной от функции угла поворота.

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости с течением времени. Угловое ускорение можно понимать как скорость изменения угловой скорости. В основных единицах системы СИ угловое ускорение вычисляется в (пишут еще или ). Угловое ускорение – величина алгебраическая, то есть она может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Геометрически угловое ускорение тела тоже принято изображать дуговой стрелкой, приписывая ей определенное направление.

2.14. Если знаки угловой скорости и углового ускорения совпадают (), то дуговые стрелки, изображающие и , направлены в одну сторону. Если знаки и не совпадают (), то дуговые стрелки, изображающие и , направлены в разные стороны .