Уравнения напряженного состояния

Реальной жидкости

 

В уравнениях движения при учете внутреннего трения в жидкости фигурирует вектор . Вектор касательных напряжений, действующих на площадку с нормалью , обычно представляют как

 

, (3.9)

 

где – векторы касательных напряжений, действующих на площадки, перпендикулярные соответствующим осям координат. Формулу (3.9) называют формулой Коши.

Каждый из векторов можно записать через их проекции на оси координат обычным образом, получив комплекс из девяти составляющих, называемых тензором напряжений:

 

(3.10)

Для получения полной (разрешимой) системы дифференциальных уравнений движения реальной жидкости необходимо ввести уравнения, определяющие составляющие тензора напряжений и вектора теплового потока. Эти уравнения существенно зависят от характера движения жидкости (ламинарного или турбулентного).

Ламинарное движение. При ламинарном движении трение и теплопередача определяются лишь движением молекул.

При одномерном движении жидкости в направлении оси ОХ, сила трения, действующая на единицу площади, определяется по закону Ньютона (1.1):

.

 

Для пространственного движения, если считать, что составляющие тензора напряжений представляют собой линейные функции от составляющих тензора скоростей деформаций, получаем обобщенный закон Ньютона для касательных напряжений:

 

(3.11)

 

где и – координатные направления (в декартовой системе – , , z); – функция, которая может принимать лишь два значения: при , а при ; – проекции вектора скорости на соответствующие координатные направления.

Из тензора напряжений (3.10) с учетом уравнения (3.11) найдем сумму нормальных напряжений :

 

.

 

Введем переменную , характеризующую напряжение, которое возникает в жидкости при объемном сжатии. Если в жидкости кроме давления нет других объемных напряжений, то и, следовательно, (гипотеза Стокса). В этом случае обобщенный закон Ньютона (3.11) можно переписать следующим образом:

 

. (3.12)

 

Количество тепла, переносимое в единицу времени через единицу площади в направлении оси У, определяется по закону Фурье:

 

.

 

В общем случае вектор теплового потока при ламинарном пространственном движении жидкости можно выразить через градиент температуры:

 

.

 

Турбулентное движение. При турбулентном движении жидкости трение и теплопроводность определяются как движением молекул, так и наличием перемешивания частиц жидкости (групп молекул). Для турбулентного движения характерно наличие пульсаций частиц и значений гидродинамических элементов в данной точке пространства.

Точные уравнения связи тензора турбулентного трения и вектора с соответствующими средними местными величинами до сих пор не установлены. Разобраны лишь простейшие случаи, основанные на полуэмпирической теории турбулентности.

Зафиксируем материальную точку пространства. Истинная скорость данной точки в данный момент времени равна . Но приборами мы измеряем скорость не материальной точки, а некоторого объема жидкости, и не в данный момент времени, а в промежуток времени . Таким образом, мы определяем некоторую среднюю скорость в малом объеме за время (промежуток осреднения), которая для одномерного течения жидкости равна

 

.

 

Разность между истинной и средней местной скоростью называется пульсационной составляющей скорости, или просто пульсацией . Тогда истинная скорость будет равна сумме средней и пульсационной составляющей скорости, например, . В пространственном случае имеем следующее:

.

 

Турбулентные трение и теплопроводность обусловлены наличием пульсаций . Можно получить выражения для и в случае турбулентного движения.

Возьмем два слоя жидкости на расстоянии l друг от друга (l – путь перемешивания частиц жидкости или среднее расстояние пульсаций). Истинные скорости в этом случае одномерного движения равны и . Из-за наличия пульсации происходит перенос количества движения и теплосодержания из слоя в слой (турбулентное перемешивание). Через площадку, равную единице площади, в единицу времени переносится масса жидкости, равная . Количество движения этой массы в слое 1 равно , а в слое 2 – .

Изменение количества движения вследствие наличия пульсаций (обусловливающее появление турбулентного трения) равно

 

.

 

Перейдем к теплосодержанию. Теплосодержание единицы массы в слое 1 равно , а в слое 2 – . Для переносимой из слоя в слой массы , соответственно, получаем и . Изменение теплосодержания (перенос тепла) определим как:

 

.

 

Путь перемешивания l определяется таким образом, что . Затем предполагаем одинаковость порядка и . В результате получаем основные соотношения полуэмпирической теории турбулентности:

.

 

При решении конкретных задач относительно пути перемешивания l, делаются соответствующие предположения, проверяемые экспериментально по следствиям. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Течение в пограничном слое. Для пограничного слоя считают, что путь перемешивания пропорционален нормальной к поверхности координате, т. е. 0,39 y, где k – коэффициент пропорциональности, не зависящий от числа Рейнольдса. Явно, что пульсации больше там, где больше скорость. Следовательно, на нижней границе пограничного слоя (у стенки) пульсация равна нулю.

2. Истечение струи из отверстия. Это течение одномерное вдоль оси ОX. Вполне естественно предположить, что чем дальше течение от краев отверстия, тем больше пульсация. Поэтому можно предположить, что , где с есть некоторая постоянная, c = const.