Тема 11. Системи масового обслуговування з втратами вимог

11.1. Система масового обслуговування з відмовами. Формули Ерланга.

11.2. Система масового обслуговування з обмеженою довжиною черги.

11.3. Система масового обслуговування з обмеженим часом перебування у черзі

11.4. Система з обмеженим часом перебування у черзі та груповим обслуговуванням

 

11.1. Система масового обслуговування з відмовами. Формули Ерланга.

 

Такі системи характеризуються наступними особливостями функціонування: система обслуговування складається з обмеженої кількості каналів обслуговування ; кожний канал обслуговування може одночасно обслуговувати тільки одну вимогу; кожна вимога, що надходить до системи, заставши всі канали вже зайнятими, залишає систему не обслуженою. Якщо вимога надходить до системи, коли є вільний канал обслуговування, воно одразу ж приймається до обслуговування.

Джерело потоку вимог необмежене по своїм можливостям, щільність потоку має певне значення . Час обслуговування кожної вимоги є випадковою величиною, яка підлягає показовому закону розподілу з параметром . Всі канали системи мають однакову продуктивність.

Формули, що характеризують процес функціонування системи, вперше отримані Ерлангом:

1) параметр завантаження системи

2) імовірність того, що обслуговуванням зайняті каналів обслуговування

3) імовірність того, що всі канали обслуговування вільні

4) імовірність того, що всі канали обслуговування зайняті. Це одночасно імовірність відмови у обслуговуванні

5) середня кількість зайнятих каналів обслуговування

6) середня кількість вільних каналів обслуговування

7) коефіцієнт простою каналів обслуговування

 

 

11.2. Система масового обслуговування з обмеженою довжиною черги

Такі системи характеризуються наступними особливостями функціонування: система обслуговування складається з обмеженої кількості каналів обслуговування ; кожний канал обслуговування може одночасно обслуговувати тільки одну вимогу; кожна вимога, що надходить до системи, заставши всі канали вже зайнятими, стає до черги тільки за умови, що в ній вже знаходиться менше ніж вимог. Якщо кількість вимог у черзі дорівнює (більше вона бути не може), вимога залишає систему не обслугованою. Якщо вимога надходить до системи, коли є вільний канал обслуговування, воно одразу ж приймається до обслуговування.

Джерело потоку вимог необмежене по своїм можливостям, щільність потоку має певне значення . Час обслуговування кожної вимоги є випадковою величиною, яка підлягає показовому закону розподілу з параметром . Всі канали системи мають однакову продуктивність.

Основні показники функціонування системи, отримані для стаціонарного стану:

1) параметр завантаження системи

2) імовірність того, що всі канали обслуговування вільні і у системі немає жодної вимоги

3) імовірність того, що каналів зайняті обслуговуванням

4) імовірність того, що всі канали обслуговування зайняті, і у черзі стоїть s вимог

 

5) імовірність відмови вимозі у обслуговуванні, що дорівнює імовірності того, що у черзі вже стоять вимог

6) середня кількість зайнятих каналів обслуговування

7) середня кількість вільних каналів обслуговування

8) середня довжина черги

9) коефіцієнт простою каналів обслуговування

 

Приклад.

На пункт технічного обслуговування автомобілів надходять у випадкові моменти часу автомобілі різноманітних типів. Пункт має одно приміщення для одного технологічного потоку ремонту. На дворі пункту є невелика крита стоянка, де одночасно може знаходитись не більше трьох автомобілів.

В залежності від характеру несправності, наявності запасних частин та кваліфікації ремонтних робітників тривалість ремонту кожного автомобіля є випадковою величиною. Статистика тривалості ремонту показали, що вона розподілена за показовим законом з середнім значенням =2 доби.

Несправні автомобілі надходять до пункту з середньою щільністю автомобілів на добу. Необхідно визначити:

1) пропускну здатність пункту;

2) середній час простою пункту;

3) середню кількість автомобілів, що очікують ремонту.

Визначити також, як зміняться ці характеристики, якщо обладнати друге приміщення для ремонту автомобілів.

Рішення.

1. Розраховуємо параметр завантаження системи

2) Імовірність того, що через нестачу місць для стоянки, автомобіль не буде прийнятий для виконання ремонту

Тобто, 20% автомобілів не буде відремонтовано у цьому пункті технічного обслуговування.

3. Відносна пропускна здатність пункту технічного обслуговування

4. Абсолютна пропускна здатність пункту технічного обслуговування

автомобіля на добу

5. Середній відсоток часу, коли пункт технічного обслуговування простоює

6. Середня кількість автомобілів, що очікують ремонту

автомобіля.

7. Середній час, на протязі якого автомобіль буде очікувати початку ремонту, можна визначити з наступних міркувань. Автомобіль, що надходить до пункту технічного обслуговування, буде очікувати доти, поки всі автомобілі, що вже стоять у черзі, не будуть відремонтовані, тоді середній час очікування початку ремонту складе

8. Загальний час перебування автомобілів на пункті технічного обслуговування

доби.

9. Якщо обладнати ще одне приміщення для ремонту (), продуктивність пункту технічного обслуговування збільшиться, а імовірність відмови у ремонті складе

Тобто, у цьому випадку імовірність відмови у ремонті зменшиться приблизно у 10 разів та близько 98% автомобілів, що надходять, буде відремонтовано.

10. Пропускна здатність станції технічного обслуговування збільшиться і складе

автомобілів на добу

11. Дещо збільшиться відносний відсоток часу простою пункту

12. Проте, середня кількість автомобілів, що очікують ремонту, різко зменшиться

13. Також зменшиться середній час очікування ремонту

доби.

14. Нарешті, що дуже важливо, загальний час, витрачений автомобілем на ремонт, скоротиться майже вдвічі

доби.

Таким чином, маючи економічні показники (вартість обладнання приміщення та утримання обслуговуючого персоналу, вартість простою техніки, тощо) можна визначити доцільність такого переобладнання станції технічного обслуговування та визначити той виграш, що у результаті цього буде отриманий.

 

11.3. Система масового обслуговування з обмеженим часом перебування у черзі

 

Такі системи характеризуються наступними особливостями функціонування: система обслуговування складається з обмеженої кількості каналів обслуговування ; кожний канал обслуговування може одночасно обслуговувати тільки одну вимогу; кожна вимога, що надходить до системи, заставши всі канали вже зайнятими, стає до черги. Якщо вимога, пробувши в системі деякий час не була прийнята на обслуговування, то вона залишає систему не обслуженою. Якщо вимога надходить до системи, коли є вільний канал обслуговування, воно одразу ж приймається до обслуговування.

Джерело потоку вимог має щільність потоку . Час обслуговування кожної вимоги є випадковою величиною, яка підлягає показовому закону розподілу з параметром . Всі канали системи мають однакову продуктивність.

Основні показники функціонування системи, отримані для стаціонарного стану:

1) параметр завантаження системи

2) інтенсивність потоку відмов у обслуговуванні

3) імовірність того, що всі канали обслуговування вільні

де

4) імовірність того, що обслуговуванням зайняті каналів системи

при

5) імовірність того, що обслуговуванням вимог зайняті всі каналів системи зайняті обслуговуванням та вимог очікують обслуговування

при

6) середня довжина черги

7) імовірність відмови у обслуговуванні

8) середня кількість зайнятих каналів обслуговування

9) середня кількість вільних каналів обслуговування

10) коефіцієнт простою каналів обслуговування

 

 

11.4. Система з обмеженим часом перебування у черзі та груповим обслуговуванням

 

Така система характеризується наступними особливостями функціонування: система складається з n однакових за продуктивністю каналів обслуговування; до системи надходить найпростіший потік вимог з інтенсивністю l; тривалість обслуговування однієї вимоги є випадкова величина, що розподілена за експоненціальним законом з параметром ; управління роботою каналів обслуговування організоване таким чином, що вимогу обслуговують всі вільні канали обслуговування (якщо такі є), у противному випадку вимога стає до черги, тривалість перебування у якій обмежена певним терміном, після чого вимога залишає систему не обслуговуваною; тривалість очікування є випадковою величиною, що розподілена за експоненціальним законом розподілу з параметром .

Основні показники функціонування системи, отримані для стаціонарного стану

1) імовірність того, що обслуговуванням зайняті k каналів та черга відсутня

 

при

 

де – параметр завантаження системи;

 

2) імовірність того, що всі канали зайняті обслуговуванням та у черзі знаходиться вимог

 

при

 

тут .

 

3) імовірність того, що всі канали вільні

 

 

4) імовірність відмови в обслуговуванні

 

 

5) середня кількість зайнятих каналів обслуговування

 

 

6) середня довжина черги

 

 

Приклад:

 

На великому будівництві є розчинний вузол з виготовлення бетону. На один заміс обсягом 10 м³ витрачається близько двох годин. Після приготування бетону він завантажується до автомобілів-самоскидів кількістю =4 по 2 м³ у кожний. Бетон у першу чергу видається машинам, що обслуговують дане будівництво. Якщо ж у момент закінчення виготовлення замісу автомобілів з даного будівництва немає, то очікують 2 години. Якщо за цей час не надійде жодного самоcвалу даного будівництва, то бетон видається стороннім організаціям. Після того, як з якого-небудь замісу завантажено деяку кількість самоскидів цього будівництва, залишок також видається стороннім організаціям. На одну їздку самоскид витрачає в середньому одну годину. Визначити середнє завантаження та простій самоскидів.

Рішення:

Маємо:

 

; ; ; ; ; .

 

Імовірності визначають імовірність того, що самоскидів даного будівництва візьмуть бетон з замісу.

Результати розрахунку наведені у таблиці.

	0.401	0.201	0.15	0.125
		0.201	0.300	0.375

 

Середня кількість зайнятих на перевезеннях самоскидів складе:

 

=

 

Таким чином, завантаження самоскидів складає , тобто вони використовуються лише на 34%.