Д.у. в полных дифференциалах.

 

Уравнения вида:

, где называется д.у. в полных дифференциалах. Левая часть уравнения, в этом случае, есть полный дифференциал от некоторой функции U(x,y):

, т.к.

тогда - общий интеграл д.у.

Функция может быть найдена следующим образом:

, проинтегрируем его по x, считая y- фиксированным. Однако и , т.е.

(*)

Затем, из равенства

находим , подставив которую в (*), определим U(x,y).

Пример.

1) Убедимся, что это уравнение в полных дифференциалах:

 

2)

 

Д.у. 1-го порядка не разрешенные относительно

a) б)

Предполагается, что:

1) Они не могут быть разрешены относительно

2) Они не могут быть разрешены относительно x (a) или y (б), либо обе – - могут быть выражены через некоторый параметр “ t ”. Иными словами

) )

) )

Причем в последних случаях:

Метод показывается на примерах:

1)

Обозначим , тогда , но ,

следовательно

2) тогда , но

и т.д.

 

3. Д.у. 2-го порядка. Интегрирование методом понижения порядка.

 

3.1. Общие положения.

 

Д.у. 2-го порядка в общем случае имеет вид:

График всякого решения – интегральная кривая. Д.у. 2-го порядка устанавливает связь между x, y интегральной кривой, угловым коэффициентом касательной к этой кривой и ее производной

в этой же точке.

Проинтегрировать – найти вес решения.

Задача Коши: при

Теорема Коши.

Если в д.у. 2-го порядка, разрешенном относительно , т.е.

, - непрерывна во всей области , а ее частные производные

и - существуют и ограничены то для любого существует решение д.у. 2-го порядка, удовлетворяющее начальным условиям и такое решение единственное.

Решение задачи Коши – частное решение д.у. 2-го порядка.

Если менять , т.е. ………, то любому при фиксированных будет соответствовать своя интегральная кривая. Получаем пучок, образующий однопараметрическое семейство . Одновременное изменение дает двухпараметрическое семейство:

Это семейство является общим решением д.у. 2-го порядка.

 

Опр. Общим решением д.у. 2-го порядка называют такое его решение, содержащее 2 произвольных константы, из которого выбором значений можно получить решение любой задачи Коши, поставленной для этого д.у. в области, где такое решение существует.

Отсюда следует, что для получения нужного решения задачи Коши следует

определить .

Пример.

, чтобы найти решение ……..

получим - частное решение.

 

3.2. Интегрирование простейших д.у. 2-го порядка.

 

К двум типам д.у. 2-го порядка: не содержащим явно неизвестную функцию или аргумент применяют метод понижения порядка:

1-й Тип: (*)

Введем

(**) - д.у. 1-го порядка относительно p.

Допустим, что (**) можно проинтегрировать и его общий интеграл

Заменяя в нем p на получим д.у. 1-го порядка относительно

Если и это д.у. можно проинтегрировать, то его общее решение

и будет решением (*).

При интегрировании (*) этим методом решение находят часто в виде или в параметрическом виде:

(Параметром может служить и )

 

Фактически данный метод сводится к интегрированию системы:

Примеры.

1)

Т.к. требуется найти только частное решение

2) - с разделяющимися перемнными

2-й Тип: Введем новую переменную , а - за новую переменную. Тогда:

тогда

(***)

Допустим, что (***) проинтегрировано, тогда

или

- уравнение 1-го порядка.

Интегрируя последнее, получим:

- или общее решение

- общий интеграл

Либо в параметрической форме:

Примеры.

- Это уравнение в полных дифференциалах.

Интеграл тогда запишется следующим образом:

или т.к. , то получим:

(A)

Введем параметр следующим образом: подставляя в (А), получим:

и тогда

Дифференцируем y по t

Но

Пример 2. Проинтегрируем задачу Коши:

- уравнение с разделяющимися переменными.

- общий интеграл.

Определяем : или

или

 

 

9. Линейные д.у..

 

9.1. Введение.

 

Линейное д.у. n-го порядка имеет вид:

(1)

где y – неизвестная функция аргумента x, - заданные непрерывные функции. Линейное д.у. называется однородным, если .

При - уравнение неоднородно, или уравнение с правой частью.

Задачу нахождения решения, отвечающего условиям:

при называют задачей Коши для д.у. n-

го порядка.

Теорема Коши: Если в д.у. n-го порядка

функция F непрерывна, а ее частные производные по ограничены во всех точках (n+1) – мерной области , то для любого существует единственное решение данного д.у., удовлетворяющее начальным условиям.

 

Такое решение называют частным решением, соответствующим заданным начальным условиям.

Общим решением д.у. n-го порядка (определенным на D, где выполнены условия теоремы Коши) называют решение этого уравнения, зависящего от n произвольных постоянных

и являющихся совокупностью всех частных решений данного д.у.. Существование общего решения также гарантируется теоремой Коши, при соблюдении ее условий.

Для получения частного из общего необходимо найти . Естественно, что условия теоремы Коши выполняются для линейного д.у. n-го порядка в области непрерывности его коэффициентов. Расшифровать!

 

9.2. Линейные однородные д.у. 2-го порядка.

 

9.2.1. Теоремы о частных решениях.

 

Рассмотрим линейное однородное д.у. 2-го порядка:

(2)

Имеют место следующие теоремы:

Теорема 1. Всякая линейная комбинация

нескольких частных решений однородного д.у. 2-го порядка также является его решением.

Доказательство: Подставляя y в (2) и группируя:

т.к теорема доказана.

В частности сумма и разность 2-х частных решений также является решеиями. Например - являются решениями д.у. , т.к. и - решения.

 

Теорема 2. Если известно одно частное решение д.у. однородного (ненулевое), то можно понизить порядок этого д.у. на единицу.

Док-во: Подстановка , где z – новая неизвестная функция приведет к:

подставляя получим:

Далее, пусть и и разделим все уравнение на тогда:

, где т.е. получили д.у. 1-го порядка относительно u.

 

9.2.2. Фундаментальная система решений однородного линейного д.у.

 

Определение: Ф.С.Р. однородного д.у. 2-го порядка называется всякая пара частных решений этого уравнения, отношение которых не равно постоянной. Такие решения также называют линейно-независимыми.

Например:

и частные решения образуют

Ф.С.Р., а

и - нет.

 

Если - Ф.С.Р. то - также будет Ф.С.Р.

 

Действительно, пусть , где , но тогда , что и требовалось доказать.

Таким образом, если уравнение имеет одну ФСР, то оно имеет их бесконечно много. Всякое дифференциальное линейное однородное уравнение имеет нулевое решение , но оно не входит ни в одну фундаментальную систему.

Определение: Определителем Вронского (вронскинианом) системы двух частных решений и уравнения (2) называют

.

Свойства определителя Вронского:

1. Если и не образуют фундаментальной системы (т.е. являются линейно зависимыми, то их определитель Вронского тождественно равен нулю:

.

2. Если , то решения и – линейно зависимы.

Пусть или

.

Если .