Решение уравнения колебания струны методом Даламбера.

Одним из широко используемых способов решения уравнений колебание струны является метод характеристик, называемый методом Даламбера.

В основе его лежит тот, факт, что с помощью замены

уравнение

(1)

Преобразуется в уравнение , которое имеет общее решение

,

где и F - произвольные дважды дифференцируемые функции.

Для определиний функций и F, то есть для определения закона колебаний струны, требуется использовать начальные условия, а для некоторых задач и граничные. Если вернуться к старым переменнам x и t, то общее решение примет вид

Это общее решение (решение Даламбера).

Здесь характеризует прямую волну (кривая F(x) смещается вправо со скоростью а), а - обратную волну (кривая Φ(х) смещается влево со скоростью а).

Рассмотрим задачу Коши для бесконечной струны: найти функцию , удовлетворяющую уравнению

По заданным начальным условиям

(2)

Определяются функции Φ и Т, и искомое решение имеет вид

(3)

Формула (3) называется формулой Даламбера. Эта формула доказывает единственность решения задачи Коши.

В частности, когда начальная скорость равна нулю (), то

Откуда легко вычислить отклонение струны от положения равновесия для любой из её точек; оно равно сумме левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией , равной половине начального отклонения.

В случае полубесконечной струны, кроме , необходимо добавить еще граничные условия (конец предполагается в точке х=0).

(4)

для закрепленной в точке х=0 струны,

(5)

для свободного конца в точке х=0,

для упругого закрепления в точке х=0.

В случае однородных граничных условий (4) и (5) решение задачи о колебании полубесконечной струны сводиться к решению задачи о колебании бесконечной струны путем продолжении начальных условий на всю ось нечетным образом для условия (4), то есть полагают и четным образом для условия (5), то есть .

Задача. Найти форму достаточно длинной струны, определяемой уравнением в момент времени , если заданы начальные смещение и скорости:

a)

b)

c)

Решение:

а) Полагая в формуле Даламбера , найдем смещение в любой точке и в любой момент t

откуда определяем форму кривой в указанном моменте времени

б) при колебательный процесс будет описан по формуле

В момент времени струна имеет форму косинусоида: а момент она совпадает с осью абсцисс .

в) По условию , тогда имеем

Форма струны в указанном моменте времени определяется уравнением

Примеры:

1. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

2. Найти решение уравнения в моменты времени и , если

1) ,

2) ,

3) ,

3. Найти форму струны в момент времени , определяемую уравнением с начальными условиями:

1) ,

2) ,

3) ,

 

4. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , и граничными условиями .

 

Лекция 10