Уравнение в полных дифференциалах (определение, общий интеграл).

Необходимое и достаточное условие для того чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель.

Уравнение с разделяющимися переменными. Однородное уравнение.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Уравнение Бернулли.

Уравнение Риккати.

Система дифференциальных уравнений, решение, общее решение.

Комплексные решения. Теорема существования и единственности для систем дифференциальных уравнений.

Теоремы существования и единственности для уравнения n-го порядка и для линейных систем дифференциальных уравнений.

14.Функция и ее свойства.

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка. Свойства многочленов символа p.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (случай простых корней).

Необходимые и достаточные условия для того чтобы число l было k кратным корнем многочлена.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (случай кратных корней).

Выделение вещественных решений. Математический маятник.

Устойчивые многочлены. Оценка решений с устойчивым характеристическим многочленом.

Устойчивость многочленов 1 и 2 -го порядков. Необходимое условие устойчивости вещественного многочлена.

Критерий Рауса-Гурвица. Устойчивость многочлена третьего порядка.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка. Структура общего решения. Квазиполином, структура общего решения с правой частью в виде квазиполинома.

Частные решения уравнения со специальной правой частью.

Метод комплексных амплитуд.

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами. Линейное однородное уравнение и его свойства. Линейная зависимость функций.

27. Определитель Вронского и его применение для определения линейной зависимости решений линейных дифференциальных уравнений.

Фундаментальная система решений и ее свойства.

Восстановление линейного дифференциального уравнения по его фундаментальной системе. Формула Остроградского-Лиувилля.

Понижение порядка дифференциального уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных.

32. Двухточечная краевая задача и ее преобразования.

Построение функции Грина и вывод ее свойств.

Необходимое и достаточное условие существования функции Грина. Задача о собственных значениях краевой задачи.

E - решения. Существование e - решений. Ломаные Эйлера.

Теорема Пеано. Теорема единственности решения.

 

Второй семестр

1. Линейная система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, формы записи. Теорема существования и единственности. (без доказательства).

Линейная однородная система, два свойства. Фундаментальная система решений ее существование и общее решение ЛО системы ДУ.

Определитель Вронского и его свойства.

Формула Лиувилля.

Матричное ДУ и его связь с векторным ДУ.

Фундаментальная матрица. Свойства фундаментальных матриц.

Сопряженное ДУ. Фундаментальная матрица сопряженного ДУ.

Формула для решения задачи Коши линейной неоднородной системы ДУ.

Тождество Лагранжа.

Сходимость матричных последовательностей и рядов. Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости матричного ряда.

Матричная экспонента и ее свойства.

Решение ЛСДУ с постоянными коэффициентами в случае простых собственных значений.

Решение ЛСДУ с постоянными коэффициентами в общем случае.

Выделение вещественных решений. Формула для решения задачи Коши ЛНСДУ с постоянными коэффициентами.

Эквивалентность норм в конечномерном пространстве.

Оценка нормы матричной экспоненты.

Логарифм матрицы и его существование.

Теорема Флоке-Ляпунова.