Система уравнений Максвелла.

Приведем законы, которым подчиняется поведение электрического и магнитного полей, лежащие в основе теории электромагнетизма. Эти законы, являющиеся обобщением опыта, формулируются ниже в интегральной форме, так как именно в таком виде обычно выражаются данные эксперимента. Используя основные положения векторного анализа, можно записать эти законы электромагнитного поля в дифференциальной форме.

Если исследуют электромагнитное поле в каком-либо веществе, изотропно заполняющем пространство, то значение векторов Е и В получаются при усреднении микроскопических величин < Eмикр>=Е и < Hмикр>=В. Такая запись позволяет оперировать с мгновенными напряженностями электрического и магнитного полей в любой точке пространства.

Усреднение микроскопических величин законно в том случае, линейные размеры области, где < Eмикр> и< Hмикр> можно считать неизменными,значительно превышают размеры атомов (молеукл). Длина волны является тем отрезком, на котором напряженность поля сильно изменяется. Поэтому усреднение можно проводить лишь в том случае, когда значительно больше атомных размеров.Такое равенство соблюдается для всего оптического диапазона спектра, включая короткие ультрафиолетовые лучи. Сложнее обстоит дело в рентгеновской области спектра, где см, т.е. того же порядка что размеры атомов.

При переходе к дифференциальной форме законов электромагнитного поля используют следующие теоремы векторного анализа:

Теорема Гаусса о преобразовании поверхностного интеграла в объемный: . (2.3.1)

Теорема Стокса о преобразовании интеграла по замкнутой кривой в поверхностный интеграл (поток ротора через поверхность, охватываемую исследуемой кривой):

. (2.3.2)

Итак, вспомним законы электрического и магнитного полей. Первый из них – основной закон электростатики – закон Кулона. Как следствие этого закона формулируется теорема Гаусса о потоке, которая при наличии диэлектриков в исследуемом пространстве записывается в виде

. (2.3.3)

Отсюда указанным выше способом переходим к дифференциальной форме закона

, (2.3.3а)

где D – вектор электрического смещения, - объемная плотность зарядов.

Существенно, что выражения (2.3.3) и (2.3.3а), полученные из уравнений электростатики, обобщаются Максвеллом для переменных полей, где D и зависят от времени.

Отсутствие в природе магнитных зарядов (монополей) приводит к выражению

, (2.3.4)

которое преобразуется к виду

div B =0. (2.3.4а)

Эти формулы соответствуют хорошо известным модельным представлением о силовых линиях электрического поля, начинающихся на положительных зарядах и заканчивающихся на отрицательных, тогда как линии магнитного поля замкнуты и охватывают породившие их токи. Введение понятия линий электрического и магнитного полей совершенно не обязательно (смысл законов содержится в приведенных формулах), но, как и во многих случаях, наглядность модельных представлений помогает пониманию явления.

Переходя к описанию свойств электрического тока. сформулируем основной закон о зависимости напряженности магнитного поля от силы породившего его тока. Этот закон обычно связывают с именами Био, Савара и Лаплпса. Запишем его в видет, который называют теоремой о циркуляции вектора Н:

(2.3.5)

Дифференциальная форма этого закона получается применением теоремы Стокса к равенству (2.3.5) и описывает плотности тока j с напряженностью магнитного поля в данной точке:

(2.3.6)

Как известно, Максвелл ввел ток смещения, плотность которого удовлетворяет соотношению

Ток проводимости и ток смещения дополняют друг друга, образуя полный ток плотностью

,

которая, согласно Максвеллу, и фигурирует в уравнении (2.3.6)

последним из требующихся нам фундаментальных соотношений является математическая формулировка знаменитого открытия Фарадея – закона электромагнитной ин6дукции.

, (2.3.7)

в котором электродвижущая сила , возникающая в замкнутом контуре, связывается со скоростью изменения потока магнитной индукции Ф, пронизывающего этот контур.

При соблюдении некоторых условий эксперимента (в частности, если контур с током неподвижен и не деформируется за время изменений) справедлива следующая интегральная форма записи закона индукции:

(2.3.8)

откуда легко получается дифференциальная форма закона

(2.3.9)

Здесь уместно сделать следующее значения:

1.Хорошо известны соображения о вихревом характере электрического поля, порождаемого изменяющимся во времени магнитным полем. Это переменное электрическое поле существенно отличается от потенциального электростатического поля, создаваемого системой неподвижных электрических зарядов, для которого rot E= 0. В последующем нас будет интересовать именно переменное электрическое поле. Но, как было показано Максвеллом, наличие переменного электрического поля с неизбежностью приводит к возникновению связанного с ним магнитного поля и поэтому нужно говорить о едином электромагнитном поле, характеризуемом в каждой точке пространства взаимосвязанными ортогональными векторами Е и В.

2.Введение Максвеллом понятий тока смещения в начале выглядело как гениальная догадка. Но несовместимость сформулированного уравнения электромагнитного поля (2.3.6) и уравнения непрерывности

, (2.3.10)

выражающего одно из самых общих свойств материи – закон сохранения электрического заряда, - с неизбежностью приводит к необходимости введения дополнительного слагаемого в правую часть уравнения поля. Следовательно, уравнение (2.3.6) должно иметь вид

.

Именно это изменяющееся во времени электрическое поле, столь неудачно названо «током смещения», и связанное с ним магнитное поле будут играть главную роль в дальнейшем изложении.

Итак, имеем уравнение электромагнитного поля в следующем виде:

, ,

, . (2.3.11)

Их нужно дополнить «материальными» уравнениями, учитывающими соотношения между векторами Е, D, В, Н и j. При отсутствии феромагнитных сегнетоэлектрических материалов для изотропных сред можно записать эти уравнения при помощи трех констант: (электропроводность), (диэлектрическая проницаемость) и (магнитная проницаемость0, постулируя линейную связь между D и Е, В и Н, j и E, т.е.

D = E, В = Н, j = E. (2.3.12)

Следует также сформулировать граничные условия для уравнений электромагнитного поля, из которых наиболее широко будем использовать равенство тангенциальных составляющих Е и Н на границе раздела двух сред, т.е.

, (2.3.13)

если предположить, что граничащие среды разделены слоем, в котором изменяются непрерывно, а j и конечны,то при стремлении к нулю толщины этого слоя уравнения (2.3.9) и (2.3.6) сведутся к равенствам (2.3.14). Однако при решении конкретных задач часто возникает необходимость задать значение искомых функций на границе исследуемой области. Такие граничные условия определяются условиями эксперимента и не вытекают из уравнений электромагнитного поля. Они должны быть добавлены к системе уравнений (2.3.11). В частности, при рассмотрении безграничного пространства часто задают вид тех или иных функций на бесконечности, руководствуясь физическими условиями решаемой задачи.

Система уравнений, включающая в себя уравнения электромагнитного поля, «материальные» соотношения и граничные условия, названа системой уравнений Максвелла и играетв электродинамике ту же роль. что и аксиматика уравнений Ньютона в классической механике.