Аналітичний метод визначення дисперсії помилки

Цей метод ґрунтується на припущенні, що спектральні щільності й частотні передавальні функції у виразі (12.66) є дробово-раціональними функціями від w. Тоді (12.66) для спектральної щільності можна подати у вигляді:

S_i(jw) = |B(jw)|²/|H(jw)|², (12.72)

де B(jw), H(jw) – деякі поліноми від комплексної змінної jw.

Обчислення окремих складових дисперсії помилки зводиться до обчислення інтегралів стандартного типу:

(12.73)

де

(12.74)

У додатку Б посібника наведені табличні значення інтегралів J_n для n від 1 до 5 у вигляді формул, що залежать від значень коефіцієнтів a₀, a₁, …, a_n і b₀, b₁, …, b_n-1.

Таким чином, за аналітичним методом спочатку визначають спектральну щільність помилки S_e(w), що складається з доданків вигляду (12.72), і знаходять коефіцієнти a_i, b_i поліномів H(jw), М(jw). Потім за допомогою стандартних інтегралів J_n визначають окремі складові дисперсії помилки і за (12.68) знаходять саму дисперсію помилки D_e.

Приклад 12.1 На вході замкнутої слідкуючої системи з одиничним зворотним зв’язком (рис. 12.4) діє сигнал U(t), що має спектральну щільність S_u(w) = 2D_uT_u / (1+w²T_u²), а на вході розімкнутої системи діє випадкове збурення F(t) типу “білий шум”, спектральна щільність якого S_f(w) = N. Кореляція між цими сигналами відсутня.

Передавальна функція розімкнутої слідкуючої системи: W(s)= k/[s(1+Ts)].

Визначити середню квадратичну помилку системи за таких умов:

D_u = 100 B; T_u = 20 c; N = 0,01 B²/Гц; Т = 0,1 с; k = 5 c^-1.

Зазначимо, що у даному випадку зовнішні дії не містять регулярних складових і відповідно до (12.71) середня квадратична помилка співпадає з дисперсією помилки.

1. Знаходимо передавальні функції замкнутої системи за помилкою і за керуванням:

W_ue(s) = 1/[1+W(s)] = s(Ts+1)/(Ts²+s+k);

W_fe(s) = W(s)/[1+W(s)] = k/(Ts²+s+k).

2. Спектральна щільність помилки відповідно до (12.67):

3. За (12.64) знаходимо складову середнього квадрата помилки , що зумовлена керуючим сигналом і співпадає у даному випадку зі складовою дисперсії помилки :

.

Оскільки |jw| = w, , а можна подати у вигляді , то інтеграл запишемо у вигляді:

Порівнюючи отриманий вираз із виглядом підінтегральної функції (12.73), можна записати поліноми (для n = 3):

Тобто

Отже, b₀ = T²; b₁ = -1; b₂ = 0.

За таблицею Б.1 (додаток Б) знаходимо значення стандартного інтеграла J₃:

Тоді отримуємо:

4. Знаходимо складову середнього квадрата помилки , що обумовлена збуренням, і співпадає у даному випадку зі складовою дисперсії помилки :

Порівнюючи отриманий вираз із виглядом підінтегральної функції (12.73), можна записати поліноми (для n = 2):

Тобто

Отже, b₀ = 0; b₁ = 1.

За таблицею Б.1 (додаток Б) знаходимо значення стандартного інтеграла J₂:

Тоді отримуємо:

5. Знаходимо підсумкове значення середнього квадрата помилки, що дорівнює у даному випадку дисперсії помилки D_e:

Середнє квадратичне відхилення помилки: