Координатное линейное пространство и его основные свойства.

ГЛАВА 2. КООРДИНАТНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.

Координатное линейное пространство и его основные свойства.

Пусть k – фиксированной числовое поле, элементы поля k обозначаются греческими буквами a, β, γ.

Опр. n-мерным вектором над полем k называется упорядоченная совокупность n-элементов поля k. kⁿ={(a₁,…,a_n)|a_i Îk}

Опр. Элемент a_i называется i-й координатой вектора a=(a₁,…,a_i,…,a_n)

Опр. два вектора a и b называются равными, если они имеют равные координаты. a=(a₁,a₂…a_n) b=(β₁,β₂…β_n), a=b для всех 1≤i≤n, a_i=β_i

Опр. Суммой двух элементов a и b координатного n-мерного пространства называется элемент вида a+b=(a₁+β₁,a₂+β₂…a_n+β_n)

Опр. Произведением вектора аÎkⁿ на число aÎk называется вектор aа=(a₁а₁,a₂а₂,…a_nа_n)

Опр. Множество всех векторов, рассмотренное с операциями сложения и умножения на константу, называют n-мерным линейным координатным пространством kⁿ.

Свойства операций в kⁿ:

1. a+b=b+a коммутативность сложения

2. a+(b+c)=(a+b)+c ассоциативность сложения

3. a,bÎkⁿ xÎkⁿ удовлетворяющее равенству a+x=b обратимость сложения

4. a(a+b)= aa+ab дистрибутивность умножения относительно сложения векторов

5. (a+β)a=aa+βa дистрибутивность умножения относительно сложения констант

6. (aβ)a=a(βa) дистрибутивность умножения относительно умножения констант

7. 1·а=а

Линейная зависимость и независимость систем векторов.

Опр. Говорят, что вектор а, линейно выражен через вектора а₁, а₂,…а_m, если существует набор a₁, a₂,… a_mÎk, a₁а₁+a₂а₂+…+a_mа_m=а (а является линейной комбинацией векторов а₁, а₂,…а_m)

Опр. Система векторов а₁, а₂,…а_m называется линейно зависимой, если существует не тривиальная линейная комбинация, которая представляет 0. a₁а₁+a₂а₂+…+a_mа_m=0, где a_i≠0

Опр. Вектора называются линейно независимыми, если линейная комбинация равна 0 только в случае тривиальной линейной комбинации. a₁а₁+a₂а₂+…+a_mа_m=0 a_i=0

Критерий линейной зависимости.

Система векторов а₁, а₂,…а_m (m≥2) линейна зависима тогда и только тогда, когда существует вектор а_i (1≤i≤m), который линейно выражается через остальные векторы. а_i=a₁а₁+…+a_i-1а_i-1+ a_i+1а_i+1+…+a_mа_m

Свойства линейной зависимости и независимости систем векторов.

1. Если какая-то подсистема векторов ЛЗ, то и вся система ЛЗ.

2. Если система векторов ЛНЗ, то и любая подсистема ЛНЗ.

3. Если система а₁, а₂,…а_s ЛНЗ, а система а₁, а₂,…а_s,b ЛЗ, то вектор b является линейной комбинацией а₁, а₂,…а_s.

4. Два вектора ЛЗ тогда и только тогда, когда они пропорциональны.

5. Система векторов, содержащая хотя бы два пропорциональных вектора или нулевой вектор, является ЛЗ.

Свойства базисов.

1. А~В

2. Количество векторов во всех базисах системы одинаково.

ГЛАВА 2. КООРДИНАТНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.

Координатное линейное пространство и его основные свойства.

Пусть k – фиксированной числовое поле, элементы поля k обозначаются греческими буквами a, β, γ.

Опр. n-мерным вектором над полем k называется упорядоченная совокупность n-элементов поля k. kⁿ={(a₁,…,a_n)|a_i Îk}

Опр. Элемент a_i называется i-й координатой вектора a=(a₁,…,a_i,…,a_n)

Опр. два вектора a и b называются равными, если они имеют равные координаты. a=(a₁,a₂…a_n) b=(β₁,β₂…β_n), a=b для всех 1≤i≤n, a_i=β_i

Опр. Суммой двух элементов a и b координатного n-мерного пространства называется элемент вида a+b=(a₁+β₁,a₂+β₂…a_n+β_n)

Опр. Произведением вектора аÎkⁿ на число aÎk называется вектор aа=(a₁а₁,a₂а₂,…a_nа_n)

Опр. Множество всех векторов, рассмотренное с операциями сложения и умножения на константу, называют n-мерным линейным координатным пространством kⁿ.

Свойства операций в kⁿ:

1. a+b=b+a коммутативность сложения

2. a+(b+c)=(a+b)+c ассоциативность сложения

3. a,bÎkⁿ xÎkⁿ удовлетворяющее равенству a+x=b обратимость сложения

4. a(a+b)= aa+ab дистрибутивность умножения относительно сложения векторов

5. (a+β)a=aa+βa дистрибутивность умножения относительно сложения констант

6. (aβ)a=a(βa) дистрибутивность умножения относительно умножения констант

7. 1·а=а