Свойства бесконечно-малых и бесконечно-больших величин

Пусть C ¹0 и a, b и g – бесконечно-малые величины, то

1. , ;

2.. a+b=g, ¥+¥=¥, ¥± C =¥;

3. a×b=g, a× C =b или 0× C =0, ¥×¥=¥, ¥× C =¥.

Свойства пределов

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. , если ,

6. .

При вычислении пределов встречаются два случая.1) Функция f (x) определена в предельной точке a, тогда

.

2) Функция f (x) не определена в предельной точке a. В этом случае мы будем иметь дело с т.н. неопределенностями: и т.п. Раскрытие (устранение) неопределенностей составляется основное содержание предлагаемых задач.

Раскрытие неопределенностей вида . Рассмотрим пределы вида , где P (x) и Q (x) – многочлены. В этом случае можно воспользоваться следующей теоремой: сумма конечного числа бесконечно больших функций различных порядков эквивалентна слагаемому высшего порядка.

Пример 1.2. Вычислить пределы:

а) б) .

Решение. а) Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Тогда используя последнюю теорему, получим

б) Здесь мы имеем с неопределенностью вида ¥–¥. Умножим и разделим данное выражение на точно такое же, но со знаком плюс между слагаемыми (на сопряженное выражение):

.

В результате получилась неопределенность типа . Далее поступаем также как в предыдущем примере:

.

Раскрытие неопределенностей вида . Рассмотрим пределы вида , где P (x) и Q (x) – многочлены. В этом случае числитель и знаменатель можно разложить на множители

.

Пример 1.3. Вычислить пределы:

а) б) .

Решение. а) Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Разложим данное выражение на множители, а затем сократим дробь на x –1¹0 (x ®1, но x ¹1):

.

б) Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Умножим числитель и знаменатель на точно такое же выражение, стоящее в знаменателе, но со знаком плюс между слагаемыми:

.

Первый замечательный предел:

. (1.1)

Из этого предела также вытекает

, , . (1.2)

Второй замечательный предел:

. (1.3)

Второй замечательный предел имеет место при неопределенности вида 1^¥. Его также записывают в виде

. (1.4)

Из второго замечательно предела вытекает

, . (1.5)

При вычислении пределов вида можно использовать метод эквивалентных бесконечно малых величин. Две бесконечно малые величины a(x) и b(x) называются эквивалентными в окрестности точки x ₀, если

.

В этом случае пишут a(x)~b(x). Тогда в вычислениях пределов вместо одной бесконечно-малой величины можно брать другую эквивалентную бесконечно-малую величину.

Таблица эквивалентностей

Пусть a(x) – бесконечно-малая величина в окрестности точки x ₀. Тогда

1. ,	2. ,	3. ,
4. ,	5. ,	6. .

Пример 1.4. Вычислить пределы:

.

Решение. Используя метод эквивалентных бесконечно-малых величин, получаем

.

При использовании второго замечательного предела воспользуемся следующим равенством:

, (1.6)

где f (x)®0, g (x)®¥ при x ® x ₀.

Пример 1.5. Вычислить пределы:

а) б) .

Решение. а) Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Преобразуем выражение в скобках

.

Далее, используя равенство (1.1), получим

.

б) Здесь мы также имеем с неопределенностью вида . Представим исходный предел следующим образом:

.

Учитывая (1.1), где и , получим

.