Теорема о проекциях прямого угла

Для того, чтобы прямой угол проецировался ортогонально в виде прямого угла, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере, одна из его сторон была параллельна плоскости проекций, а вторая – не перпендикулярна к этой плоскости (Рис.2.11а, б).

Рис. 2.11. Проекции прямого угла на эпюре:

а) на фронтальной плоскости проекции;

б) на горизонтальной плоскости проекции

Доказательство: Пусть имеем в пространстве прямой угол ВАС. Проецируем его на плоскость Н ортогонально. Предположим, что сторона АВ данного угла параллельна плоскости Н. Тогда имеем: Ð ВАС = 90˚; АВ || Н; АА_н ^ Н. Докажем, что Ð В_нА_нС_н = 90º (Рис.2.12). Ð А_нАВ = 90°, т.к. фигура АА_нВВ_н – прямоугольник. Следовательно, прямая АВ перпендикулярна к проецирующей плоскости Q как перпендикулярная к двум прямым этой плоскости (АВ ^ АС; АВ ^ АА_н). Поэтому АВ ^ Q, но А_нВ_н || АВ отсюда и А_нВ_н ^ Q, а это означает, что Ð В_нА_нС_н = 90º.

 

Рис 2.12 Проекция прямого угла

 

Задача: Определить расстояние от точки А до фронтали (Рис.2.13).

Решение. Прямой угол между искомым перпендикуляром и фронталью ВС проецируется в натуральную величину на плоскость V. Натуральная величина перпендикуляра АК может быть найдена методом прямоугольного треугольника.

 

Рис. 2.13. Определение расстояния от точки А до фронтали ВС

Ортогональные проекции плоскости

 

Плоскость представляет собой множество точек, которые при проецировании в общем случае покроют всю плоскость проекций, не давая на ней изображения. Поэтому плоскость в пространстве на проекциях определяют расположенные в ней элементы.

Рис. 2.14. Задание плоскости на эпюре

 

 

Такими элементами, определяющими плоскость, могут быть: три точки не лежащие на одной прямой (Рис.2.14а), прямой и не принадлежащей ей точки (Рис.2.14б), две параллельные прямые (Рис.2.14в), две пересекающиеся прямые (Рис.2.14г), плоская фигура (Рис.2.14д).

Кроме этого плоскость может быть задана следами (Рис.2.15а, б).

Рис. 2.15. Задание плоскости следами:

а) в диметрии; б) на эпюре

Прямые, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций называются следами плоскости. Р_н – горизонтальный след, Р_v – фронтальный след и Р_w – профильный след.

Точки Р_X, Р_Y, Р_Z называются точками схода следов.

 

Прямая и точка в плоскости

 

Задание плоскости на чертеже любым из перечисленных способов единственным образом определяет проекции всех точек и прямых, принадлежащих плоскости.

Прямая CD, проходящая через две точки C и D, лежащие в плоскости, заданной прямыми АВ и CD, принадлежит этой плоскости (рис.2.16).

Рис. 2.16. Принадлежность прямой плоскости

 

Точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести в этой плоскости прямую. Если точка М принадлежит плоскости АВС (Рис.2.17а, б), то по одной заданной проекции М_н можно определить другую проекцию М_v и притом единственную.

Рис. 2.17. Принадлежность точки плоскости:

а) заданной прямоугольником; б) заданной следом

Для этого через точку М (М_н) проведем какую-либо прямую АN (A_нN_н), принадлежащую данной плоскости; по линиям связи найдем вторую проекцию прямой (А_vN_v) и на ней соответствующую точку М_v.

В качестве такой вспомогательной прямой часто берут линии уровня, лежащие в данной плоскости.

 

Особые линии плоскости

К особым линиям плоскости относятся горизонталь плоскости, фронталь плоскости и линии наибольшего наклона к плоскости Н (линия ската).

Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости Н (Рис.2.18а, б).

Рис 2.18 Горизонталь плоскости

 

Фронталь плоскости – прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости V (Рис.2.19а, б).

 

 

Рис 2.19 Фронталь плоскости

Линия ската S плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная к горизонтали плоскости (Рис.2.20а, б). Линия ската определяет угол наклона a плоскости к плоскости проекции Н.

Рис. 2.20 Линии ската плоскости:

а)S =ВК в плоскости АВС;

б) S=АВ в плоскости заданной следами Р_V и Р_H

Плоскость на чертеже может быть задана линией ската и горизонталью (как двумя пересекающимися прямыми). Этот способ является рациональным, т.к. достаточно задать положение линии ската, а горизонталь строится перпендикулярно к ней.

 

Плоскости общего положения

Плоскости не параллельные и не перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций называются плоскостями общего положения. Такие плоскости изображены на рис. 2.14а, б, в, г, д.