Основные числовые характеристики дискретной случайной величины

 

Закон распределения случайной числовой величины характеризует ее полностью, но наиболее компактно можно выразить все существенные сведения о случайной величине, которыми мы располагаем, с помощью числовых параметров, получивших название числовых характеристик случайной величины, из которых рассмотрим математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Определение. Математическим ожиданием называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений

.

Математическое ожидание соответствует тому значению случайной величины, около которого группируются все ее возможные значения.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной величине:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

3. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий:

.

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания всегда равно нулю:

.

Пример. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины , определяемой как количество посетителей в наугад выбранной аптеке.

Х:	xi
	pi	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Решение:

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х определяется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

= 5×0,1 +6×0,2 +7×0,3 + 8×0,3 + 9×0,1 = 7,1.

Определение. Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания называется дисперсией случайной величины

.

На практике широко применяется другая формула, значительно упрощающая процесс вычисления

.

Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

.

3. Если и – независимые случайные величины, то

.

 

Пример. Вычислить дисперсию дискретной случайной величины , используя данные предыдущего примера.

Решение:

Дисперсию удобно вычислять по формуле D(X) = M(X ²) – M ² (X), где

.

Таким образом, дисперсия дискретной случайной величины равна

.

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Поэтому для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания ее использовать неудобно. В связи с этим вводят понятие среднего квадратического отклонения, размерность которого совпадает с размерностью случайной величины.

Определение. Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением:

.

 

 

Найти числовые характеристики и построить многоугольник распределения.

Решение.

	0,125	0,375	0,375	0,125

 

– вероятность рождения девочки

– вероятность рождения мальчика

 

Найдем числовые характеристики:

1. математическое ожидание

2. дисперсия

3. среднеквадратическое отклонение

Определение: Функцией распределения НСВ назовем функцию

 

Функция называется интегральной.

Определение: Плотностью распределения НСВ назовем функцию

Функция называется дифференциальной.

Можно выделить основные законы распределения НСВ:

1. нормальное распределение;

2. распределение ;

3. распределение Стьюдента.

Непрерывные случайные величины обладают следующими характеристиками:

1. математическое ожидание:

2. дисперсия:

3. среднеквадратическое отклонение:

Математическая статистика.

 

Задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого количественного или качественного признака, характеризующего эти объекты.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называется совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производиться выборка.

Наблюдаемые значения называются вариантами, а последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

Число наблюдений называется частотами (обозначаются ), а их отношение к объему выборки (обозначается ) называется относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответственно их частот (относительных частот).

 

 

Статистическое распределение можно задать так же в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот.

 

Пример 1. Составит статистическое распределение и вариационный ряд следующей выборки: 2,1,1,1,3,4,2.

1,1,1,1,1,3,4 – вариационный ряд.

Для оценки плотности распределения используют полигон и гистограмму частот.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки .

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки .

Если признак непрерывен, то используют гистограмму частот.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны отношению .

Статистическое распределение обладает следующими числовыми характеристиками:

1. выборочная средняя ;

2. выборочная дисперсия ;

3. исправленная дисперсия ;

4. среднеквадратическое отклонение .

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки математического ожидания случайной величины , распределенной по нормальному закону, при известном среднеквадратическом отклонении служит доверительный интервал

 

где - точность оценки, - объем выборки, - выборочное среднее, - аргумент функции Лапласа (табличное значение).

 

Пример 2. У семи человек продолжительность инкубационного периода вирусным гепатитом составила: 17,1; 16,2; 18,3; 16,6; 15,3; 18,6; 16,4; 16,5; 17,5; 16,9 дней. Требуется: 1) определить выборочную среднюю , выборочную D_в и исправленную S² дисперсии; 2) полагая, что распределение признака Y описывается нормальным законом распределения, найдите доверительный интервал для средней продолжительности инкубационного периода а у обследуемых людей на уровне заданной надежности g = 0,999.

 

Решение.

1) Определим выборочную среднюю , выборочную D_в и исправленную S² дисперсии. Вспомогательные расчеты проведем в таблице.

Выборочная средняя .

Выборочная дисперсия D_в .

Исправленная дисперсия s^{2 .}

2) Полагая, что распределение признака Y описывается нормальным законом распределения, найдём доверительный интервал для средней продолжительности инкубационного периода а у обследуемых людей на уровне заданной надежности g = 0,999. Доверительный интервал найдём по формуле:

, где . по таблице (см. приложение 3 в [ 8 ]) по заданным n=10 g = 0,999 находим t_g=4,78.

Итак, и доверительный интервал

Ответ: Выборочная средняя ; выборочная дисперсия D_в ; исправленная дисперсия s^{2 .}

С надёжностью 0,999 средняя продолжительность инкубационного периода у обследуемых людей а заключена в доверительном интервале 15,45 < а < 18,43.