Тема 4.2. Первообразная и определенный интеграл

Площадь криволинейной трапеции. Понятие об определенном интеграле. Первообразная. Первообразные элементарных функций. Правила вычисления первообразных. Формула Ньютона-Лейбница.

Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

 

Определение. Первообразной функцией для функции называется функция, производная которой равна исходной функции.

.

Теорема (теорема Коши). Любая непрерывная на некотором множестве функция имеет на этом множестве первообразную.

Пример. Функция является первообразной функции так как . Функции и также являются первообразными функции . Любая функция вида , где – произвольное число, является первообразной функции .

Каждая функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются на постоянное слагаемое. Верно и обратное утверждение.

Теорема. Если и - две первообразные для функции , то они отличаются на постоянное слагаемое.

Доказательство. Рассмотрим функцию

,

,

.

Определение. Совокупность всех первообразных данной непрерывной функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается , где именуется подынтегральной функцией, выражение - подынтегральным выражением.

Если – некоторая первообразная данной функции, то , где – произвольная постоянная.

Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием данной функции, или взятием интеграла от данной функции.

На основании теоремы 2 и отличаются на постоянное слагаемое, следовательно, один график можно получить из другого сдвигом на единиц вдоль оси .

.

Функция имеет бесконечно много первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Графики всех первообразных представляют собой бесконечное семейство параллельных кривых, которые заполняют всю плоскость. Через каждую точку плоскости проходит график одной из первообразных.

Правила нахождения первообразных:

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак интегрирования: функции .

2. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных этих функций.

Первообразные основных элементарных функций:

Функция	Первообразная

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция непрерывна на замкнутом интервале . Определенный интеграл от функции пределах от до вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:

,

Где

Свойства определенного интеграла

Ниже предполагается, что и – непрерывные функции на замкнутом интервале .

1. ;

2. , где - константа;

3. ;

4.

Если для всех то ;

5. ;

6. Если в интервале , то .

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция непрерывна на замкнутом интервале . Если – первообразная функции на , то

.

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной осью , двумя вертикальными прямыми и графиком функции (рисунок 1), определяется по формуле

.

Рис.1		Рис.2

Пусть и – первообразные функций и , соответственно. Если на замкнутом интервале , то площадь области, ограниченной двумя кривыми и вертикальными линиями (рисунок 2), определяется формулой

.

Замена переменной в определенном интеграле

Определенный интеграл по переменной можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной с помощью подстановки :

Новые пределы интегрирования по переменной определяются выражениями

.

Где - обратная функция к , т.е. .

Интегрирование по частям для определенного интеграла

В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:

, где означает разность значений произведения функций при .

Пример. Вычислить интеграл

Решение. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

.

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить правильно.

При построении чертежа рекомендуется следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить по точкам.

В данной задаче решение может выглядеть так. Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):

На отрезке график функции расположен над осью ,

поэтому: .

Ответ: ед .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж:

Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью , то её площадь можно найти по формуле: .

В данном случае:

.

В геометрии - вычисление площади фигуры под графиком.

В физике - да там все через интеграл считается. Нахождение магнитного потока по напряженности, количества теплоты при известном токе и сопротивлении, магнитной индукции.

Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа.

Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла:

1) масса неоднородного стержня с плотностью;

2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.

Применение интеграла в физике:

Работа переменной силы.

– (путь) перемещения.

Вычисление массы.

Вычисление момента инерции линии, круга, цилиндра.

Вычисление координаты центра тяжести.

Количество теплоты и т.д.

Применение интеграла в геометрии:

Вычисления фигур.

Длина дуги кривой.

тела на S параллельных сечений.

тела вращения и т.д.