Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть . Положим . Из рисунка 4 очевидно, что .

Тогда . Это выражение запишем в виде

(*)

Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде называют иногда алгебраической формой комплексного числа.

Отметим, что тригонометрическая форма – это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу. Поэтому вместо формулы (*) можно было бы просто записывать пару , но запись (*) принята в силу традиции.

Замечание. При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значения и , иначе мы потеряем явное указание аргумента и снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если угол получился отрицательным, то знак «–» НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.

Пример. Запишите в тригонометрической форме числа .

Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:

.

Пусть , . Найдем произведение :

Заметим, что во внутренних скобках стоят формулы косинуса и синуса суммы аргументов. Поэтому

Последняя запись является тригонометрической формой комплексного числа . Значит,

иными словами, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Аналогично можно доказать, что

, иными словами, при делении комплексных чисел их модули делятся один на другой, а аргументы вычитаются.

Несложно проверить, что если , то .

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень , где - натуральное число.

Пусть . Тогда ,

то есть .

Далее находим , то есть .

Продолжая умножения дальше, придем к формуле

- эта формула называется формулой Муавра.

Пример. Вычислите , если .

Решение. Находим тригонометрическую форму числа :

, .

По формуле Муавра

.

Переходим к алгебраической форме, вычисляя косинус и синус: .

Ответ. .

Тема 1.3 Многочлены

Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Схема Горнера. Теорема Безу. Число корней многочлена. Многочлены от двух переменных. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены.

 

Многочленом от переменной будем называть выражение вида , где – натуральное число; – любые числа, называемые коэффициентами этого многочлена. Выражения называются членами многочлена, – свободным членом.

Часто будем употреблять и такие термины: - коэффициент при , – коэффициент при и т.д.

Примерами многочленов являются следующие выражения: . Здесь для первого многочлена коэффициентами являются числа 0, 2, – 3, 3/7; при этом, например, число 2 – коэффициент при , а 0 – свободный член.

Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым.

Так, например, многочлен – нулевой.

Из записи многочлена видно, что он состоит из нескольких членов. Отсюда и произошел термин ‹‹многочлен›› (много членов). Иногда многочлен называют полиномом.

Многочлен от одной переменной будем обозначать так: и т.д. например, если первый приведённых выше многочленов обозначить , то можно записать: .

Для того чтобы запись многочлена выглядела проще и выглядела компактнее, договорились о ряде условностей.

Те члены не нулевого многочлена, у коэффициенты равны нулю, не записывают. Например, вместо пишут: ; вместо . Таким образом, каждое число – это тоже многочлен. Многочлен , у которого все коэффициенты равны нулю, т.е. нулевой многочлен, записывают так: .