Дисконтирование с использованием простой учетной ставки

 

Расчетная формула для вычисления этих процентов выводится на основе следующих рассуждений.

Пусть с 1 руб. берется годовая учетная (дисконтная, авансовая) ставка d, тогда должник получает на руки сумму (1-d) и по истечении срока должен вернуть 1 руб. То есть, если 1 руб. – это возвращаемая сумма S, то первоначальная сумма будет равна: P = S – d (при условии что срок равен одному году), или в нашем случае, P = 1 – d. Если значение S, Р и n – произвольны, то

 

P = S – S ∙ n ∙ d = S ∙ (1 – n ∙ d), (13)

 

где S∙n∙d – величина дисконта, а n – срок от момента учета до даты погашения векселя. Величина (1 – n∙d) называется дисконтным множителем при использовании учетной процентной ставки. Учет посредством учетной ставки осуществляется чаще всего при временной базе K = 360 дней, число дней ссуды берется точное (обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды).

Для уяснения практического приложения рассмотрим дисконтный вексель. Используя номинал векселя (S), учетную ставку (d), время, оставшееся до срока погашения (t), вычитают дисконт (D) – скидку с номинала, т.е. разницу между S и Р.

Затем рассчитывают выкупную (фактурную) стоимость векселя до срока погашения

(13а)

Рассмотрим пример:

Пример 10.

 

Владелец векселя номиналом 100 тыс. руб. и периодом обращения 105 дн., за 15 дн. до наступления срока платежа учитывает его в банке по учетной ставке 20%. Определить сумму, полученную владельцем векселя.

 

 

Дано: Решение:

 

S = 100 тыс. руб. Изобразим задачу графически:

Пер. обращение – 105 дн.

n = 15 дн.

d = 20%

Р -?

Р -? S = 100

n = 15 дн.

 

 

d = 20%

 

Используя выражение (13а) получим:

 

(тыс. руб.)

 

В отдельных случаях может возникнуть ситуация, когда совмещается начисление процентов по ставке наращения i и дисконтирование по учетной ставке d. В этом случае, полученная при учете сумма определиться как:

 

P` = P ∙ (1 + n ∙ i) ∙ (1 – n` ∙ d) (14)

 

S`

где P(S) – номинальная сумма; n – общий срок платежного обязательства; n` - срок от момента учета до даты погашения платежа; Р` - сумма, полученная при учете обязательства.

Пример 11.

 

Долговое обязательство, предусматривающее уплату 400 тыс. руб. с начисленными на них 12% годовых, подлежит погашению через 90 дн. Владелец обязательства (кредитор) учел его в банке за 15 дн. до наступления срока по учетной ставке 13,5%. Полученная сумма после учета составила:

Дано: Решение:

 

S = 400 тыс. руб. В этой задаче номинальная стоимость

n = 90 дн. (возвращаемая сумма) принимается за

n` = 15 дн. первоначальную: S = P (см. график).

d = 13,5%

i = 12%

Р` -?

 

P(S) =400 т.р. S`

i = 12%; n = 90 дн.

 

d = 13,5%; n` = 15дн.

 

дисконтирование

P` -?

1. Вначале определяем наращенную сумму обязательства S`, принимая его номинальную стоимость за первоначальную сумму:

(тыс. руб.)

2. Находим полученную после учета сумму:

(тыс. руб.)

3. Используя выражение (14) получаем ту же сумму:

(тыс. руб.)

 

Необходимость использования простой учетной ставки для расчета наращенной суммы возникает в случае определения номинальной стоимости векселя при выдаче ссуды. В этом случае сумма долга, проставленная в векселе, будет равна

(15)

Величина 1/(1- n ∙ d) в этом случае является множителем наращения при использовании простой учетной ставки.

 

Пример 12.

 

Предприниматель обратился в банк за ссудой в размере 200 тыс. руб. на срок 55 дней. Банк согласен выдать указанную сумму при условии начисления процентов по простой учетной ставке, равной 20%. Найти возвращаемую сумму.

Дано: Решение:

Р = 200 тыс. руб. В этой задаче наращение производится

n = 55 дн. по простой учетной ставке.

d = 20%

S -?

 

 

Р = 200 S -?

наращение

 

 

d = 20; n = 55 дн.

 

Используя выражение (15) получим:

 

тыс. руб.

 

Если бы сумма выдавалась под простую процентную ставку ( i), то наращенная сумма была бы равна тыс.руб., т.е. наращение по учетной ставке идет быстрее и она менее выгодна должнику 206,111 < 206,304 т.е. возвращаемая сумма в первом случае будет больше.

 

Определение срока ссуды при использовании учетной ставки производится по формулам:

, (16)

, (17)

 

где n –срок ссуды в годах; t – срок ссуды в днях; k – временная база.

 

Рассмотрим пример:

 

 

Пример 13.

 

Фирме необходим кредит в 500 тыс. руб. Банк согласен на выдачу кредита при условии, что он будет возвращен в размере 600 тыс. руб. Учетная ставка 21% годовых. На какой срок банк предоставит кредит фирме? К = 365 дней

Дано: Решение:

 

S = 600 тыс. руб. Графическая иллюстрация задачи

Р = 500 тыс. руб.

d = 21%

n -?

 

Р = 500 т.р. S = 600 т.р.

 

d = 20%; n -?

0 n

 

дисконтирование

 

При решении подобного рода задач проще воспользоваться выражением (17), тогда срок кредита сразу получится в днях (при использовании выражения (16) срок будет выражен в долях года):

 

(дн.)

 

Величина учетной ставки рассчитывается по формулам:

^, (18)

 

. (19)

 

Пример 14.

 

Контракт на получение ссуды в 500 тыс. руб. предусматривает возврат долга через 300 дней в сумме 600 тыс. руб. Определим примененную банком учетную ставку. К = 365 дней.

Дано: Решение:

 

Р = 500 тыс. руб.

S = 600 тыс. руб.

t = 300 дней

i -?

 

Р = 500 т.р. дисконтирование S = 600 т.р.

 

d =? t = 300 дн.

 

0 t

 

По формуле (19) получим: или d = 20,27%

 

При операциях с дисконтными финансовыми инструментами учетная ставка иногда может задаваться неявно: в виде общей относительной доли уменьшения номинала или как отношение дисконтированной суммы к номиналу ; тогда d находится как или

(20)

где d` - процент скидки; t – срок до учета (срок векселя).

 

Пример 15.

 

Размер удерживаемых процентов при выдаче полугодовой ссуды составляет 20% суммы ссуды. Определим заложенную учетную ставку процентов (дисконтную ставку). К = 365

Дано: Решение:

 

d` = 20%

t = 0,5 г.(180 дн.)

К = 365 дн.

d -?

Пример 16.

Государственные краткосрочные трехмесячные векселя котируются по курсу 90. Вычислим учетную ставку. К =360.

 

Дано: Решение:

 

P / S = 0,9 скидка в нашем случае: 1 – 0,9 = 0,1

d -? тогда: