Тема 10. Криволинейный интеграл.

Пискунов, гл. XV, § 1-2, упр. 1-5

Данко, гл. II, § 1-4

 

Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам.

Основные формулы.

 

1. Определение криволинейного интеграла по длине дуги (1-го рода).

 

где h=AB, имеющая уравнение y= j(x)

dh-дифференциал дуги ABили h.

 

2.Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги (1-го рода).

 

 

где имеющая уравнение y=j(x),

j^/(x)- производная y.

3.Определение криволинейного интеграла по координатам (2-го рода).

 

 

 

Криволинейный интеграл по координатам (II-го рода) есть работа, совершаемая переменной силой

 

на криволинейном пути AB(механическое толкование).

 

4.

 

 

5.

 

(A C B)

 

 

6.Криволинейный интеграл II-го рода (по координатам) вычисляется по формуле:

 

где представлена уравнением y=j(x), [a,b]-отрезок изменения x дуги AB.

7.

 

 

т.е криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

 

8. не зависит от контура интегрирования между т. А и т. В, если выполняется тождественное равенство:

 

Этот факт используется в качестве наивыгоднейшего пути интегрирования (следует выбрать ломаную, соединяющую точки А и В, звенья которой параллельны осям (OX) и (OY).

 

Подынтегральное выражение при указанных условиях является полным дифференциалом некоторой однозначной функции т.е а уравнение называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах.

 

9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром С, находится по формуле:

10.2. Примеры решения задач.

 

Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл I-го рода по длине дуги

 

где L- отрезок прямой от т. O(0;0) до B(4;3)

 

Решение:

 

Уравнение прямой имеет вид:

 

или

 

Находим тогда

 

Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y= x², x= y²и 8xy=1.

 

Решение:

 

 

 

 

Решая совместно уравнения кривых находим координаты точек A и B:

 

Þ

Þ

 

 

Значит, или

 

Это краткое решение. Более подробное решение имеет вид:

 

или

 

1. -дуга параболы y= x²; dy=2xdx; тогда

2. - дуга кривой тогда

 

 

3. -дуга кривой тогда

 

 

 

 

Задача 3. Дано

Проверить, что данное выражение является полным дифференциалом функции «U» и найти эту функцию.

 

Решение:

 

- требование полного дифференциала выполняется и данное

 

выражение можно записать , где U=U(x,y)- искомая функция.

 

Будем интегрировать dUпо ломаной OAM(см. рис.)

 

 

y. M (x;y)

 

O(0;0) A(x;0) x

 

 

Учтя, что на пути [OA] y=0; dy=0 а на пути [AM] x=const, dx=0, получим:

 

 

Ответ:

 

Задача 4. Найти центр тяжести дуги полуокружности лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице.

 

Решение: Из соображения симметрии ясно, что центр тяжести лежит на оси (OY), поэтому

X_c=0.

Ордината , где dL-длина дуги.

 

 

 

- длина полуокружности, т.е

 

Тогда

 

Ответ:

 

Вопросы для самопроверки.

 

1. Как определяется работа при движении точки в силовом поле?
2. Дайте определение криволинейного интеграла I-го и II-го рода по данной линии.
3. Запишите условие независимости криволинейного интеграла II-го рода (по координатам) от линии интегрирования.
4. Укажите наиболее удобный способ вычисления криволинейного интеграла II-го рода от полного дифференциала функции U.
5. Как вычисляется криволинейный интеграл I-го рода (по длине дуги)? Привести пример.
6. Как найти площадь плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией?

 

Контрольная работа № 2

В ЗАДАЧАХ 91-100 найти неопределённые интегралы способом подстановки

(методом замены переменной).

 

 

91. . 92.

 

 

93. 94.

 

95. 96.

 

97. 98.

 

99. 100.

 

В ЗАДАЧАХ 101-110 найти неопределённые интегралы применяя метод интегрирования по частям.

 

101. 102.

 

 

103. 104.

 

 

105. 106.

 

 

107. 108.

 

 

109. 110.

 

В ЗАДАЧАХ 111-120 найти неопределённые интегралы, пользуясь разложением рациональных дробей на простейшие.

 

 

111. 112.

 

 

113. 114.

 

 

115. 116.

 

 

117. 118.

 

 

119. 120.

 

 

В ЗАДАЧАХ 121-130 вычислить определённые интегралы.

 

 

121. 122.

 

 

123. 124.

 

 

125. 126.

 

 

127. 128.

 

 

129. 130.

 

 

В ЗАДАЧАХ 131-140 вычислить площадь, ограниченную заданными параболами.

131.

 

132.

 

133.

 

134.

 

135.

 

136.

 

137.

 

138.

 

139.

 

140.

 

 

В ЗАДАЧАХ 141-150 найти длину дуги кривой.

 

 

141. 142.

 

143. 144.

 

145. 146.

 

147. 148. y =lnx,

 

149. 150.

 

В ЗАДАЧАХ 151-160 вычислить несобственные интегралы и установить их расходимость.

 

151. 152.

 

 

153. 154.

 

155. 156.

 

 

157. 158.

 

 

159. 160.

 

 

В ЗАДАЧАХ 161-210 вычислить частные производные первого и второго порядков от заданных функций.

 

161. 162.

 

163. 164.

 

165. 166.

 

167. 168.

 

169. 170.

 

В ЗАДАЧАХ 171-180 задана функция z= f(x,y). Найти градиент и производную этой функции в заданной точке M(x₀, y₀) в направлении вектора составляющего угол a с положительным направлением оси OX.

171.

 

172.

 

173. M (2,2),

 

174.

 

175.

 

 

176. z =ln (x²+y²), M (3,4),

 

177. M (1,-2),

 

178.

 

179. M (1,1),

 

180. M (2,2),

 

В ЗАДАЧАХ 181-190 найти экстремум заданной функции.

 

 

181. 182.

 

183. 184.

 

185. 186.

 

187. 188.

 

189. 190.

 

 

В ЗАДАЧАХ 191-200 с помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной единице).

 

191. -x+2y = 1 192.

 

193. 3x - 4y =1 194. x²+y² =9;

 

195. 196. x-5y =1.

 

197. x-3y-3 =0. 198. 2x-5y-1 =0.

 

199. 200. x+y+2=0.

 

 

В ЗАДАЧАХ 201-210 вычислить работу, совершаемую переменной силой на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки M и N.

 

201. L -дуга параболы y=x²+2x;M(0;0),N(1;3)

202. L - дуга параболы y=2x²+1;M(0;1), N(2;9)

203. L -дуга кубической параболы y=x³; M(0;0),

N(2;8).

 

204. L - дуга параболы y=7x²+2x; M(0;0),

N(2;32)

 

205. L - отрезок прямой, соединяющий точки

M(1;2) и N (3;5)

206. L - дуга параболы y=3x²+x; M(1;4),

N (3;30).

 

207. L - дуга кубической параболы y=x³+1;

M(0;1), N(1;2).

 

208. L -дуга кубической параболы y=x³+2;

M(1;3), N(2;10).

 

209. L - дуга параболы y=x²+x; M(1;2), N(3;12).

 

210. L - дуга параболы y=3x²+2; M(2;14),

N (3;29).