Уравнение с разделяющимися переменными

 

В предыдущем параграфе мы установили схему решения уравнения с разделенными переменными. В данном параграфе рассмотрим некоторые типы уравнений, которые могут быть сведены к уравнениям с разделенными переменными, а потому носят название уравнений с разделяющимися переменными. Рассмотрим сначала общее уравнение 1-го порядка в дифференциальной форме . Как будет далее понятно, такое уравнение сводится к уравнению с разделенными переменными, если функции и представимы в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от , а другая только от . Итак, уравнением с разделяющимися переменными (в дифференциальной форме) называется уравнение вида

(1) .

Как и прежде, перенесением первого слагаемого в правую часть, можно это уравнение привести к уравнению вида

(2) ,

которое, естественно, тоже называть уравнением с разделяющимися переменными. Для сведения уравнения вида (2) к уравнению с разделенными переменными, разделим обе его части на , после чего получим

(3) .

Поскольку перед теперь оказалась функция, зависящая только от , а перед только от , то мы и пришли к уравнению с разделенными переменными (которое, напомним, по определению должно иметь вид ). Далее решение проводится по схеме решения уравнения с разделенными переменными, которая описана (в рамке) в предыдущем параграфе.

Замечание. При сведении уравнения (2) к уравнению с разделенными переменными мы делили обе его части на . После такого преобразования мы могли потерять те решения исходного уравнения (2), которые обращают это выражение в 0. Пусть некоторое число является корнем уравнения (т.е. ). Докажем тогда, что функция (тождественная константа) является решением исходного уравнения (2) (хотя, очевидно, не является решением полученного уравнения с разделенными переменными (3)). Подставим функцию в (2), учитывая, что : . Получили верное тождество (учитывая, что ), а потому функция является решением уравнения (2). Точно так же, пусть некоторое число является корнем уравнения . Докажем тогда, что функция (тоже тождественная константа, но уже рассматриваемая как функция ) является решением исходного уравнения (2). Подставим функцию в (2), учитывая, что : . Получили верное тождество (учитывая, что ), а потому функция является решением уравнения (2).

Из этого замечания выведем следующее

Следствие. Пусть числа являются решениями уравнения , а числа решениями . Тогда функции , , …, , а также функции , , …, являются решениями уравнения (2), которые не могут быть получены из общего решения уравнения с разделенными переменными (3), а потому являются особыми решениями уравнения (2).

Таким образом, определяется следующая схема решения уравнения с разделяющимися переменными (2):

1. Привести уравнение (2) к виду (3), деля обе его части на .

2. Найти общий интеграл (а если возможно, то и общее решение) уравнения с разделенными переменными (3) по схеме, описанной (в рамке) в предыдущем параграфе.

3. Найти корни уравнения (если они есть) и корни уравнения (если они тоже есть).

4. Совокупность всех решений уравнения (2) состоит из решений, содержащихся в общем интеграле (или общем решении), полученном во втором пункте, к которым добавляются решения вида , , …, и , , …, (особые решения уравнения).

Пример 1. Решить уравнение и построить его интегральные кривые.

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными вида (1). Перенося второе слагаемое в правую часть, приводим его к виду (2): . Далее решаем это уравнение по приведенной выше схеме.

1. Делим обе части на , получаем уравнение с разделенными переменными

(4) .

2. Находим общий интеграл уравнения (4) по схеме решения уравнений с разделенными переменными из предыдущего параграфа:

1) «Навешиваем» интегралы на обе части уравнения: .

2) Вычисляем полученные интегралы (по без «») и приравниваем их:

. Мы получили общий интеграл уравнения (выражение, связывающее , и ).

3) Для получения из общего интеграла общего решения (где выражено через и ) используем следующий прием. Произвольная постоянная может быть любым числом, а любое число может быть представлено в виде логарифма некоторого положительного числа: , где (в этом случае ). Поэтому общий интеграл можно записать в виде , где − любое положительное число. Учитывая свойства логарифмов, получаем или . Отсюда или . Поскольку может принимать любое строго положительное значение, то пробегает все числовые значения, кроме нуля. Вводя снова обозначение без индексов , получаем общее решение уравнения , где − любое число, кроме : .

3. Ищем особые решения уравнения. При приведении уравнения к уравнению с разделенными переменными, мы делили уравнение на . Корнями уравнения и являются, очевидно, числа и .

4. Таким образом, общее решение уравнения имеет вид (), а два его особых решения и . Видно, что при общее решение дает одно из особых решений . Поэтому решениями уравнения будут все функции вида ( − любое число) и функция .

Построим интегральные кривые этого уравнения. Напомним, что таковыми являются графики решений уравнения. Поскольку графиками функций являются все прямые, проходящие через начало координат, но не совпадающие с осью , а график функции как раз и есть прямая, совпадающая с осью , то интегральными кривыми уравнения являются всевозможные прямые, проходящие через начало координат. Некоторые из них изображены на рисунке.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Перенося второе слагаемое в правую часть, приводим его к виду (2): . Далее решаем это уравнение по приведенной выше схеме.

1. Делим обе части на , получаем уравнение с разделенными переменными вида (2):

(5) .

2. Находим общий интеграл уравнения (5) по схеме решения уравнений с разделенными переменными из предыдущего параграфа:

1) «Навешиваем» интегралы на обе части уравнения: .

2) Вычисляем отдельно полученные интегралы (по без «») и приравниваем полученные выражения: = ; . Приравнивая полученные выражения, получим общий интеграл уравнения (выражение, связывающее , и ): . Поскольку из этого равенства мы не сможем выразить явно через и (поверьте на слово!), то общего решения уравнения мы не получим и придется довольствоваться его общим интегралом.

3. Ищем особые решения уравнения. При приведении уравнения к уравнению с разделенными переменными, мы делили уравнение на . Корнями уравнения и являются, очевидно, числа и .

4. Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид , а два его особых решения и .

Рассмотрим теперь уравнения 1-го порядка в недифференциальной форме и выясним, в каком случае его можно свести к уравнения с разделенными переменными. Оказывается, это можно сделать в том случае, если функция в правой части представима в виде произведения двух функций, одна из которых может зависеть только от , а вторая – только от . Итак, уравнением (в недифференциальной форме) с разделяющимися переменными называется уравнение вида

(6) .

Для сведения этого уравнения к уравнению с разделенными переменными и его решения используется следующая схема.

1. Умножаем обе части уравнения (6) на , учитывая, что слева . Получим уравнение .

2. Делим обе части полученного уравнения на , получаем уравнение

(7) .

Уравнение (7) – уже уравнение с разделенными переменными, поскольку при стоит функция, не содержащая , а при − функция, не содержащая .

3. Решаем уравнение с разделенными переменными (7) по использовавшейся уже схеме из предыдущего параграфа (схема в рамке), в результате чего получаем общий интеграл (а если повезет, то из него и общее решение) уравнения (7).

4. Поскольку в пункте 2 мы делили обе части уравнения на , то к полученному в предыдущем пункте решению нужно добавить особые решения вида , , …, , где − корни уравнения (если они, конечно, есть).

Прежде, чем рассмотреть примеры применения описанной схемы, опишем некоторые приемы, которые в некоторых случаях помогают получить общее решение из общего интеграла (поскольку общее решение все же предпочтительнее общего интеграла).

Лемма. Справедливы следующие утверждения.

1. Если в общий интеграл произвольная постоянная входит с некоторым числовым множителем, то этот множитель можно отбросить (вместо можно написать просто ).

2. Вместо произвольной постоянной в общем интеграле можно писать , накладывая при этом условие .

3. Общий интеграл вида (где − произвольная функция) дает общее решение ,где − произвольная постоянная, не равная 0 ().

Первые два утверждения леммы уже использовались при решении примера 1 выше, где были даны и соответствующие обоснования. Третье утверждение тоже доказывается несложно.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Записывая уравнение в виде

(8) ,

убеждаемся, что это уравнение с разделяющимися переменными вида (6), где , а . Поэтому далее действуем по приведенной выше схеме.

1. Умножаем обе части (8) на : .

2. Делим обе части на (так как ), что равносильно умножение обеих частей на . В результате получаем уравнение с разделенными переменными .

3. Решаем полученное уравнение по схеме решения уравнения с разделенными переменными.

1) Навешиваем значок перед правой и левой частью уравнения: или .

2) Вычисляя полученные табличные интегралы, получаем общий интеграл уравнения .

3) Попробуем получить из общего интеграла общее решение. Умножая на 2, получаем или, пользуясь первым утверждением леммы, или . Извлекая корень, получаем два семейства общих решений: и .

4. Поскольку выражение , на которые мы делили исходное уравнение, не обращается в 0 ни при каком значении , то особых решений у уравнения нет.

Итак, уравнение имеет 2 семейства общих решений и . Из вида полученных общих решений видно, что они дают решения только для , а при каждом таком решения имеют область определения .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными вида (6), где , а . Поэтому далее действуем по привычной схеме.

1. Умножаем обе части на : .

2. Делим обе части на . В результате получаем уравнение с разделенными переменными .

3. Решаем полученное уравнение по схеме решения уравнения с разделенными переменными.

1) Навешиваем значок : или (для удобства последующего вычисления интеграла) .

2) Вычисляя полученные табличные интегралы, получаем общий интеграл уравнения .

3) Выражая отсюда , получаем общее решение .

4. Поскольку мы делили обе части уравнения на , то для получения особых решений решаем уравнение , имеющее число 0 своим единственным корнем. Особое решение: .

Итак, уравнение имеет общее решение и особое решение .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными вида (6), где , а .

1. Умножаем обе части на : .

2. Делим обе части на . Получаем уравнение с разделенными переменными .

3. Решаем полученное уравнение по схеме решения уравнения с разделенными переменными.

1) Навешиваем значок : .

2) Вычисляя полученные табличные интегралы, получаем общий интеграл уравнения .

3) Для получения из общего интеграла общего решения воспользуемся третьим утверждением вышеприведенной леммы: общий интеграл вида дает общее решение , где . В нашем примере , а потому общее решение имеет вид , причем .

4. Поскольку мы делили обе части уравнения на , то для получения особых решений решаем уравнение , имеющее число 0 своим единственным решением. Особое решение: .

Заметим, что оно получается из общего решения (в котором исключалось) как раз при . Поэтому все решения исходного уравнения содержатся в формуле , где произвольная постоянная может принимать теперь уже любые значения.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Представим уравнение в виде Это уравнение с разделяющимися переменными вида (6), где , а .

1. Умножаем обе части на : .

2. Делим обе части на (т.е. умножаем на ). Получаем уравнение с разделенными переменными .

3. Решаем полученное уравнение по схеме решения уравнения с разделенными переменными.

1) Навешиваем значок : .

2) Основная трудность этого примера – вычисление полученных интегралов. Интеграл в левой части (без «+ ): . Интеграл в правой части (с учетом, что ): . Приравнивая полученные интегралы, получаем общий интеграл уравнения: .

3) Получим из него общее решение. Сначала («расчищая» слева путь к ) делим обе части равенства на (т.е. умножаем обе части на ):

. По первому утверждению леммы можно заменить на , далее (опять «расчищая» слева путь к ) возводим обе части равенства в степень 5: . Наконец, извлекая корень 6 степени из каждой части, получаем 2 семейства общих решений: и .

4. Поскольку мы делили обе части уравнения на , а уравнение корней не имеет, то особых решений у уравнения нет. Поэтому все решения исходного уравнения содержатся в двух семействах его общих решений: и .

Пример 7. Решить задачу Коши .

Решение. Напомним, что решение этой задачи состоит в нахождении такой функции , которая, являясь одним из решений уравнения , при принимает значение : .

Найдем сначала все решения этого уравнения, а затем выделим из них требуемое. Представим уравнение в виде Это уравнение с разделяющимися переменными вида (6), где , а .

1. Умножаем обе части на : .

2. Делим обе части на (т.е. умножаем на ). Получаем уравнение с разделенными переменными .

3. Решаем полученное уравнение по схеме решения уравнения с разделенными переменными.

1) Навешиваем значок : .

2) Интеграл в левой части (без «+ ): {модуль можно опустить, так как выражение под знаком модуля всегда положительно} . Интеграл в правой части . Приравнивая полученные интегралы, получаем общий интеграл уравнения: .

3) Получим из него общее решение. Умножаем обе части на , но вместо оставляем (первое утверждение леммы): . По свойству логарифмов , а вместо запишем с условием (второе утверждение леммы). Получаем . Используя свойства логарифмов, имеем , откуда , . Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем 2 семейства общих решений: и .

4. Поскольку мы делили обе части уравнения на , а уравнение корней не имеет, то особых решений у уравнения нет. Поэтому все решения исходного уравнения содержатся в двух семействах его общих решений: и (в обоих семействах произвольная постоянная ).

Теперь (для решения поставленной задачи Коши), выделим из этих семейств решений ту функцию , которая при принимает значение : . Ясно, что при любом функции первого семейства не могут принимать отрицательных значений (значение квадратного корня всегда неотрицательно), а потому искомую функцию будем искать среди функций второго семейства. Какое же значение произвольной постоянной дает во втором семействе такую функцию, которая при принимает значение ? Подставляя и в общий вид функций этого семейства, получаем, что должно выполняться условие: . Отсюда , , . Поэтому нужное нам решение задачи Коши получается из второго семейства общих решений при . Таким образом, решением задачи Коши является функция .

 

Однородное уравнение

 

Другим типом дифференциальных уравнений, для которых известен алгоритм получения решений, являются так называемые однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Снова рассмотрим уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида

(1) .

В предыдущем параграфе (см. формулу (6) там) мы уже выяснили, что если функция в правой части (1) может быть представлена в виде , то уравнение (1) называется уравнением с разделяющимися переменными, для которого разобрана конкретная схема его решения. Для каких же еще типов функций в правой части (1) известен метод решения этого уравнения? Оказывается, таковыми являются и так называемые однородные функции.

Назовем функцию двух переменных однородной функцией, если для любого значения при подстановке в эту функцию вместо и вместо выражение для функции (возможно, после некоторых тождественных преобразований) не изменяется:

(2) .

Пример 1. Проверить однородность функции .

Решение. Согласно (2), найдем выражение для : {сокращаем числитель и знаменатель на } . Поэтому условие (2) для выполнено, а потому эта функция является однородной.

Уравнение (1) называется однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка, если функция в правой его части является однородной. Оказывается, что однородные уравнения могут быть сведены к уравнению с разделяющимися переменными, алгоритм решения которых разобран в предыдущем параграфе. Делается это следующим образом: будем искать такую вспомогательную функцию , чтобы решением уравнения (1) являлась функция . Есть ли такие функции ? Оказывается, такие функции есть, а для их нахождения и получается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Как получается это уравнение – лучше разобрать на конкретных примерах.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Приведем это уравнение в виду (1), перенося последние два слагаемых в правую часть, а затем деля обе части уравнения на . Получим (3)

(3) .

Это уравнение вида (1), в котором правая часть имеет вид . Убедимся, что это функция является однородной, проверив выполнение соотношения (2). Действительно, , а потому уравнение (3) – однородное. Согласно приведенной выше рекомендации для этого случая, будем искать такую вспомогательную функцию , чтобы решением уравнения (3) являлась функция , т.е. после подстановки этой функции в уравнение (3) должно получиться верное тождество. Перед такой подстановкой найдем производную от функции , так как в левую часть (3) именно ее и надо подставлять: ={применяем формулу для производной произведения: } . Теперь подставляем функцию в (3), подставляя в левую часть (3) , а в правую часть :