Теория выдвижения и проверки гипотез.

Теория выдвижения и проверки гипотез связана с вопросами передачи и восприятия информации. Эта теория возникла и развивалась для оценки процессов передачи сигналов на расстоянии (теория статистических решений в радиотехнике). Исследуются возможности применения её для оценки процессов обучения, передачи знаний.

Идея метода заключается в следующем:

Имеется два векторных пространства: пространство априорной и апостериорной информации (первое векторное пространство называют ещё пространством наблюдения или пространством информации, а второе - пространством восприятия или пространством решения)

В детерминированном случае одной точке х в первом пространстве соответствует одна точка х1 во втором.

В случае статистического (вероятностного) восприятия одной точке в первом пространстве соответствует распределение Х1, которое называют решающей функцией.

Что собой может представлять решающая функция удобно пояснить на примере двуальтернативного решения с событиями х1 и х2 и их априорными вероятностями р1 и р2.

События х1 их2 могут представлять собой 2 состояния одной точки Х:

х1 –отсутствие точки

х2 – наличие точки

В пространстве восприятия события х1и х2 соответствуют событиям х1¢ и х2¢

Возможны 4 случая:

 

Р(х1¢/х1) Р(х1¢/х2)

 

Р(х2¢/х1) Р(х2¢/х2)

Условные вероятности Р(х1¢/х1) и Р(х2¢/х2) соответствуют правильному восприятию.

Р(х1¢/х1) –отсутствие точки х в пространстве восприятия в случае отсутствия этой точки в пространстве информации.

Р(х2¢/х2) - обнаружение точки х в пространстве в случае её наличия в пространстве информации.

Условная вероятность Р(х2¢/х1) характеризует восприятие события х2 при условии, что в пространстве априорной информации произошло событие х1, т.е. обнаружение точки х в случае её отсутствия в пространстве информации. Этот случай принято называть «ложной тревогой».

Условная вероятность Р(х1¢/х2) соответствует отсутствию точки х в пространстве восприятия в случае наличия её в пространстве информации. В этом случае принято говорить о «пропуске сигнала» (например, самолёт появился, но его не обнаружили)

Для оценки рассмотренных случаев вводится функция потерь W.

В случае правильного восприятия, то есть при Р(х1¢/х1) и Р(х2¢/х2):

W(х1¢/х1)=W(х2¢/х2)=0;

В случае «ложной тревоги» и «пропуска сигнала»

W(х2¢/х1)=W(х1¢/х2)=1;

Пользуясь этими оценками можно ввести понятие «условного» риска:

Для случая х1

r(x1,D)= W(х1¢/х1) Р(х1¢/х1)+ W(х2¢/х1) Р(х2¢/х1)= Р(х2¢/х1)=a

так как W(х1¢/х1)=0 W(х2¢/х1)=1

то есть условный риск равен вероятности ложной тревоги.

D- условный знак, характеризующий возможность отклонения от правильного решения.

Аналогично, для х2

r(x2,D)= W(х2¢/х2) Р(х2¢/х2)+ W(х1¢/х2) Р(х1¢/х2)= Р(х1¢/х2)=b

Общий риск (имеют место решения a и b)

R= M(r)=p1* r(x1,D)+p2* r(x2,D)= p1+p2ba

Чтобы работа системы была оптимальной полный риск должен быть минимальным.

Рассмотренный случай называется критерий Зигерта-Котельникова или критерий идеального наблюдения (минимизируется общий риск)

В теории статистических решений используются также:

- критерий Байерса –критерий минимального риска (выбирается минимальный риск из нескольких максимальных общих рисков)

- критерий минимакса- априорные вероятности неизвестны и минимизируется значение максимально возможного риска.

- Критерий Неймана-Пирсона – минимизируется b при a £ e

- Критерий Вальда – последовательный анализ – минимизируется число испытаний n, достаточное для принятия определённого решения.

 

В рассмотренном выше примере пространство априорной информации содержит 2 события и решающая функция включает 4 апостериорных условных вероятности с соответствующими им функциями потерь. В случае большего числа событий распределение D(х¢/х) естественно усложняется. При выборе решающей функции следует руководствоваться возможностью минимизации среднего риска.